Probabilités Première S Devoir

[mscoujouls]

Bonjour,

Je bloque complètement sur cet exercice. J'ai fait la question a) et j'ai trouvé 5€ mais pour la b) je suis complètement bloquée merci de votre aide.

 

2)Alice lance une pièce bien équilibrée jusqu'au moment ou elle obtient Pile pour la 1ere fois.

Règle:Bob donne a Alice k euro si Alice obtient Pile pour la 1ere fois au k-ième lancer et le jeu s'arrête.

a)Un jeu est limité a une série de 5 lancers maximum, c'est a dire que le jeu s'arrête dès qu'Alice obtient Pile ou si Alice obtient 5 Face, et dans ce cas Alice ne reçoit rien.

On appelle X la somme reçue par Alice.

Avant de commencer a jouer, quelle somme (la mise) Alice devrait-elle donner a Bob pour que le jeu soit équitable ?

b)Maintenant le jeu est une série de n lancers.

Déterminer l'espérance de X et utiliser la question 1) pour prouver que E(X)=Un avec Un=2(1-(n+2)(1/2)^(n+1)).

c)Utiliser une calculatrice ou un tableur pour conjecturer le comportement de la suite (Un) quand n devient grand.

d)Dans le cas ou le nombre de parties d'un jeu n'est pas limité, que pensez-vous de la mise ?

 

Ce que j'ai fait:

 

a)

P(X=0€)=(1/2)^5= 1/32

P(X=2€)=1/2

P(X=4€)=(1/2)²=1/4

P(X=8€)=(1/2)^3=1/8

P(X=16€)=(1/2)^4=1/16

P(X=32€)=(1/2)^5= 1/32

E(X)=x0p0 + x2p2 + x4p4 + x8p8+ x16p16+ x32p32

=0*1/32+2*(1/2)+4*(1/4) + 8*(1/8) + 16*(1/16)+32*(1/32)

= 0 + 1 +1 +1 +1 +1

= 5€

 

b) ?

 

c) ?

 

d) ?

 

S'il vous plait aidez moi.

Merci d'avance

[Barbidoux]

On appelle X la somme reçue par Alice.

p(X=1)=1/2^1

p(X=2)=1/2^2

p(X=3)=1/2^3

………

p(X=n)=1/2^n

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pour 5 lancer 

E(X)=somme de 1 à 5 de xi*Pi=1/2+2/2^2+3/2^3+4/2^4+5/2^5=57/32=1.78 €

Avant de commencer a jouer, Alice devrait  donner a Bob 1.78 €pour que le jeu soit équitable ?

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n lancers

La relation E_n(x)=U_n=2(1-(n+2)(1/2)^(n+1)) est vérifiée à l'ordre 1, 2 3 …. on la suppose vérifiée à l'ordre n. 

A l'ordre n+1 on aura 

E_n+1(x)=E_n(x)+(n+1)/2^(n+1)= U_n+(n+1)/2^(n+1)=2(1-(n+2)(1/2)^(n+1))+(n+1)/2^(n+1)=2-(n+3)/2^(n+1))=2*(1-(n+3)/2^(n+2)).

La relation E_n(x)=U_n étant vérifiée à l'ordre n+1 est héréditaire et valable pour toute valeur de n.

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lorsque n-> ∞ alors un-> 2

Dans la cas où le nombre de lancers est illimité la mise doit être égale à 2 euros pour que le jeu soit équitable. Avec une mise initiale de 1.78 € le jeu est en faveur du joueur

[mscoujouls]

Merci beaucoup pour votre aide !