Dérivations

[marionmmb]

Bonjour, j'ai cet exercice à réaliser mais je suis bloquée... Quelqu'un pourrait-il m'aider ? Merci d'avance

 

On considère les fonctions f et g définies sur ]0;[ par f(x)=x²+x+1/x et g(x)=2x³+x²-1. 

1) Montrer que, pour tout réel x strictement positif , les nombres f'(x) et g(x) ont le même signe. 

2) Etudier les variations de la fonction g sur ]0;+[. On admet que l'équation g(x)=0 admet une solution unique a, avec 0<a<1 ( on ne cherchera pas à calculer a). Préciser le signe de g suivant les valeurs de x . 

3) Dresser le tableau de variation de la fonction f  sur ]0;+[. 

4) On désigne par C la courbe représentative de f dans un repère orthonormé. 

  a) Determiner  une équation de la tangente (T) à C au point A d'abscisse 1. 

  b) Etudier la position de C par rapport à T suivant les valeurs de x en montrant qu'elle dépend du signe de ((x-1)(x²-1))/x. 

5) Utiliser les résultats précédents pour construire la courbe C ( on prendra 2/3 comme valeur approchée de a) . 

[pzorba75]

1

f(x)=x²+x+1/x et g(x)=2x³+x²-1

 

f'(x)=2x+1-1/x^2=(2x^3+x^2-1)/x^2=g(x)/x^2

or x^2>0 donc f'(x) et g(x) sont de même signe.

 

2

g(x)=2x³+x²-1

g'(x)=6x^2+2x=2x(3x+1) donc g'(x)>0 et g est croissante sur R+

g(0)=-1

g(1)=2

Par application du TVI, pas vu en première, il existe a unique tel que 0<a<1 et g(a)=0

 

Je te laisse reprendre ces questions et travailler la suite tout seul, il n'y a pas de difficultés à ce stade.

 

Au travail