Exercice De Dm : Produit Scalaire

[Skaas]

Bonsoir tout le monde. C'est un premier post que j'écris mais la fin d'un exercice me pose vraiment problème. L'énoncé est le suivant : 

 

Dans un plan muni d'un repère orthonormé, on considère les points A (2;-1), B (6;1) et C (-3;4)

 

1. Calculer le produit scalaire AB->.AC->, et les distances AB et AC

2. On pose θ (Théta) = (AB->, AC->), montrer que cosθ = -V10/10 et en déduire θ en degrés à 0,1° près (V correspond à la racine carrée)

3. Déterminer la valeur exacte de sinθ

 

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Pour le 1), aucun problème. Le produit scalaire vaut -10, AB vaut 2V5 et AC vaut 5V2

Le 2) non plus. J'ai réussi à démontrer l'égalité pour le cos et j'ai trouvé que θ vaut environ 108°

Mais je ne vois pas quoi faire pour le 3).

 

Merci d'avance pour vos réponses !

[pzorba75]

1)

vec(AB)=(4;2)

vec(AC)=(-5;5)

 

vec(AB)*vec(AC)=4*(-5)-2*5=-20+10=-10

 

vec(AB)*vec(AC)=-10

 

AB=sqrt(4^2+2^2)=sqrt(20)=2*sqrt(5)

AC=sqrt((-5)^2+5^2)=sqrt(50)=5*sqrt(2)

 

2)

vec(AB)*vec(AC)=AB*AC*cos(theta) => cos(theta)=-10/(2*sqrt(5)*5*sqrt(5))=-10/(10*sqrt(2*5))=-10/sqrt(10)=-sqrt(10)/10

 

cos(theta)=-sqrt(10)/10

 

3)

sin^2(theta)+cos^2(theta)=1 => sin^2(theta)=1-cos^2(theta)=1-10/100=(100-10)/100=90/100=9/10 =>sin(theta)=sqrt(9)/sqrt(10)=sqrt(90)/10

 

sin(theta)=sqrt(90)/10

 

À rédiger soigneusement.

[Skaas]

Merci de votre aide, je n'avais effectivement pas pensé aux égalités sinus/cosinus. 

 

Au plaisir de vous revoir !