Aide Exo Nombre Complexe Et Limite.

[xephyro62]

bonjour, j'ai besoin d'aide pour ces exercices, je vous en remercies d'avance.

[Barbidoux]

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Exercice 1

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1———————

z’=(z+2*i)/(z+i)=(x+i*(y+2))/(x+i*y+1)

=(x-2+i*(y+2))*((x-i*(y+1))/(x+i*(y+1))

=(x^2+y^2-2*x+2*y+1+i*(2*y+2))/(x^2+(y+1)^2)

2———————

z’ est réel si 2*y+2=0 ==> y=-1. L’ensemble des nombres complexes z pour lesquels z’ est une nombre réel sont les nombres complexes de type z=x+2*i.

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z’ est imaginaire pur si x^2+y^2-2*x+2*y+1=0 ==> (x-1)^2+(y+1)^2=1. L’ensemble des nombres complexes z pour lesquels z’ est un imaginaire pur sont les nombres complexes de type z=x+y*i où x et y sont les solution de (x-1)^2+(y+1)^2=1 équation du cercle de centre {1,-1} et de rayon 1.

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3———————

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Exercice 2

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fn(x)=x^3-2*n*x+1

1———————

la fonction fn(x) qui est un polynôme en x est dérivable sur R et en particulier pour n≥2 et x appartenant à [0,1]. Sa dérivée a pour expresssion

f’(n)=3*x^2-2*n

2———————

f’(n)=3*x^2-2*n s’annule pour x=±√(2*n/3) et est du signe du coefficient de x^2 à l’extérieur de ses racines

3———————

x………………-√(2*n/3)…………………………….√(2*n/3)…………..

f’(x)…..(+)……….(0)…………………(-)……………..(0)………(+)…..

f(x)….crois………Max………..decrois……………..Min……..crois…..

4———————

pour n≥2 alors √(2*n/*3)>1 et f(x) est décroissante sur l’intervalle [0,1]. Comme f[0]=1 et f[1]=2-2*n<0 pour n≥2 on en déduit que le graphe de f(x) coup l’axes des abscisses en un point d’abscisse a appartenant à [0,1] solution de f(x)=0

5———————

fn(1/n)=1/n^3-2+1=1/n^3-1<0 on en déduit que le graphe de f(x) coupe l’axes des abscisses en un point d’abscisse a appartenant à [0,1/n] solution de f(x)=0 et que donc 0<a<1/n

6———————

Lorsque n->∞ alors 1/n->0 et a->0