Exercices Fonction Exponentielle

[TermS]

Bonjour pouvez m'aidez svp merci

[Barbidoux]

f(x)=(x^2+x+1)*exp(-1/x)/x^2

1—————————

Lorsque x->∞ alors x^2>>x et 1 et exp(-1/x) ->1

lim f(x)= lim (x^2)*exp(-1/x)/x^2=lim exp(-1/x)=1 et la droite d’équation y=1 est asymptote au graphe de f(x).

2—————————

t(x)=(f(x)-f(0))/x=((x^2+x+1)*exp(-1/x)/x^3 puisque f(0)=0

lorsque x->0 alors x^2 et x << 1

lim t(x)= lim exp(-1/x)/x^3 =0/0

On pose 1/x=y

lim t(x)= lim exp(-1/x)/x^3 quand x->0= lim y^3/exp(y) lorsque y->∞ =0

ce qui montre que f(x) est dérivable en x=0

3—————————

f’(x)=(1+2*x)*exp(-1/x)/x^2+(1+x+x^2)*exp(-1/x)/x^4-2*(1+x+x^2)*exp(-1/x)/x^3=(1-x)*exp(-1/x)/x^4

x……0………………..………………….1……………………………∞

f’(x)…………………(+)…………………..(0)…………..(-)………….

f(x)….0…………..crois………………….Max………decrois……….1

[TermS]

Merci j'avais bien trouvé ça à la 1 mais pas à la 2

[TermS]

Pouvais vous m'aidez aux autres exercices svp.

Au deuxième la dérivé de 2xe^x est égale à 2e^x?

Et le troisième je ne comprends pas ce qu'il faut faire

[Barbidoux]

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Exercice 2

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h(x)=(1-2*exp(x))/(1+2*x*exp(x))

A1—————

f(x)=1+2*x*exp(x)

f’(x)=2*exp(x)+2*x*exp(x)=2*exp(x)*(1+x) s’anule pour x=-1 en étant négative avant puis positive après

x……………………(-1)…………………

f’(x)………(-)………(0)………………….

f(x)…….décrois….Min……crois……….

A2—————

h(x) est définie sur R

B1—————

h’(x)=-2*exp(x)/(1-2*x*exp(x))-(1-2*exp(x))*(2*exp(x)+2*x*exp(x))/(1-2*x*exp(x))^2

=2*exp(x)*(2*exp(x)-2-x)/(1-2*x*exp(x))^2

=2*exp(x)*g(x)/(1-2*x*exp(x))^2

les termes 2*exp(x) et (1-2*x*exp(x))^2 les signes de h(x) et g(x) sont identiques

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Exercice 3

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f(x)=(exp(2*x)-1)/(exp(2*x)+1)

f’(x)=-2*exp(2*x)*(exp(2*x)-1)/(exp(2*x)+1)^2+2*exp(2*x)/(exp(2*x)+1)

=4*exp(2*x)/(exp(2*x)+1)^2

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f’(x)= 4*exp(2*x)/(exp(2*x)+1)^2 >0 qq soit x

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1-(f(x))^2=1-(exp(2*x)-1)^2/(exp(2*x)+1)^2=((exp(2*x)+1)^2-(exp(2*x)-1)^2)/(exp(2*x)+1)^2

=4*exp(2*x)/(exp(2*x)+1)^2 =f’(x)

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f(0)=(1-1)/2=0