Les Suites Dm De Spe

[azerty12t]

Bonjour,est ce que vous pouvez m'aider à finir mon dm de spe maths s'il vous plait ?

j'ai deja fait fait le debut mais je n'arrive pas a parti de la 4eme question. Voici l'enonce :

On considère la suite (u_n) d'entiers naturels définie par u₀=14 et u_n-6 pour tout n

1) a) Justifier que le nombre formé par les deux derniers chiffres d'un entier N en base 10 est le reste de la division euclidienne de N par 100.

b) Quelle conjecture peut-on émettre concernant les deux derniers chiffres de u_n?

2) a) Montrer que, pour tout n,u_n+2u_n[4]

b) en déduire que, pour tout entier naturel k, u_2k2[4] et u_2k+10[4]

3) a) Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel n, 2u_n=5ⁿ⁺²+3

b) En déduire que, pour tout n 28[100]

4) Déterminer les deux derniers chiffres de l'écriture décimale de u_n.

J'en suis à la question 2) b) est ce que vous pouvez m'expliquez comment proceder s'il vous plat?

merci d'avance.

[Barbidoux]

On considère la suite (u_n) d'entiers naturels définie par u₀=14 et u_n-6 ???? pour tout n

[azerty12t]

oui je m'etais trompé mais voila le bon enonce :

On considère la suite (un) d'entiers naturels définie par u0=14 et u_n+1=5u_n-6 pour tout n

1) a) Justifier que le nombre formé par les deux derniers chiffres d'un entier N en base 10 est le reste de la division euclidienne de N par 100.

b) Quelle conjecture peut-on émettre concernant les deux derniers chiffres de un?

2) a) Montrer que, pour tout n,un+2un[4]

b) en déduire que, pour tout entier naturel k, u2k2[4] et u2k+10[4]

3) a) Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel n, 2un=5n+2+3

b) En déduire que, pour tout n 28[100]

4) Déterminer les deux derniers chiffres de l'écriture décimale de un.

[azerty12t]

est ce que vous pouvez m'aider à repondre à la question 3) b) s'il vous plait?

[Barbidoux]

1a——————————

Tout entier N en base 10 s’écrit

a_na_n-1a_n-2……..a₁a₀=a_n*10ⁿ+a_n-1*10^n-1+…….+a₁*10¹+a₀*10⁰

ce qui montre que les deux derniers chiffres d'un entier N en base 10 est le reste de la division euclidienne de N par 100.

1b——————————

conjecture : les deux dernier chiffre de un sont 14 ou 64

2a——————————

u_n+2=5*u_n+1-6=5*(u_n-6)-6=5*u_n-24=4*u_n+u_n-24=u_n[4]

2b——————————

u_n+2=u_n[4]

si n pair alors u_2*k+2=u_2*k[4]=u₀[4]=2[4]

si n impair alors u_2*k+1=5*u_2k-6=10[4]-2[4]=8[4]=0[4)

3a——————————

2*u₀=28=50+2+3=52+3

2*u₁=128=51+2+3=53+3

on suppose 2*un=5n+3 ==> un=(5^n+3)/2

u_n+1=5*u_n-6=5*(5ⁿ+3)/2-6=(5^(n+1)+2+3)/2

2*u_n+1=5^(n+1)+2+3

la relation étant héréditaire est vérifiée pour toute valeur de n

[marie57050]

Le 18/11/2014 at 15:48, Barbidoux a dit :

1a——————————

Tout entier N en base 10 s’écrit

a_na_n-1a_n-2……..a₁a₀=a_n*10ⁿ+a_n-1*10^n-1+…….+a₁*10¹+a₀*10⁰

ce qui montre que les deux derniers chiffres d'un entier N en base 10 est le reste de la division euclidienne de N par 100.

1b——————————

conjecture : les deux dernier chiffre de un sont 14 ou 64

2a——————————

u_n+2=5*u_n+1-6=5*(u_n-6)-6=5*u_n-24=4*u_n+u_n-24=u_n[4]

2b——————————

u_n+2=u_n[4]

si n pair alors u_2*k+2=u_2*k[4]=u₀[4]=2[4]

si n impair alors u_2*k+1=5*u_2k-6=10[4]-2[4]=8[4]=0[4)

3a——————————

2*u₀=28=50+2+3=52+3

2*u₁=128=51+2+3=53+3

on suppose 2*un=5n+3 ==> un=(5^n+3)/2

u_n+1=5*u_n-6=5*(5ⁿ+3)/2-6=(5^(n+1)+2+3)/2

2*u_n+1=5^(n+1)+2+3

la relation étant héréditaire est vérifiée pour toute valeur de n

 

Bonjour, Je ne comprend pas votre manière de procéder pour la question 2b. De plus pour la 2a ce serait plutôt Un+2= 5*(5Un-6)-6 = 24Un+Un-36 donc Un+2=Un[4]

merci d'avance. 

[marie57050]

j'ai cependant compris que pour un nombre n pair on a 14 et pour un nombre n impair 64

 

[Barbidoux]

2a——————————

u_n+2=5*u_n+1-6=5*(u_n-6)-6=5*u_n-36=4*u_n+u_n-36=u_n[4]

2b——————————

u_n+2=u_n[4]

si n pair alors  u_n+2=u_2*k+2=u_2*k[4]=u₀[4]=2[4]

-----------

si n impair alors u_n+2=u_2*k+1=5*u_2k-6=10[4]-2[4]=8[4]=0[4)

3a——————————

[Evolxya]

Le 01/10/2016 à 20:31, Barbidoux a dit :

2a——————————

u_n+2=5*u_n+1-6=5*(u_n-6)-6=5*u_n-36=4*u_n+u_n-36=u_n[4]

2b——————————

u_n+2=u_n[4]

si n pair alors  u_n+2=u_2*k+2=u_2*k[4]=u₀[4]=2[4]

-----------

si n impair alors u_n+2=u_2*k+1=5*u_2k-6=10[4]-2[4]=8[4]=0[4)

3a——————————

Je ne comprends pas du tout le 2a pourquoi votre un+1=(un-6)?  Lors du remplacement ? 
 

[Barbidoux]

Oui parenthèse malheureuse il faut lire 5*u_n+1-6=5*u_n-6-6=5*u_n-12=4*u_n+u_n-12=u_n[4]

[Evolxya]

Je ne comprends pas votre réponse à la question 4, d’ou Sort ce n+1 ? Je n’arrive pas du tout à cette question? 

[Evolxya]

Il y a 1 heure, Evolxya a dit :

Je ne comprends pas votre réponse à la question 4, d’ou Sort ce n+1 ? Je n’arrive pas du tout à cette question? 

 

Il y a 15 heures, Barbidoux a dit :

Oui parenthèse malheureuse il faut lire 5*u_n+1-6=5*u_n-6-6=5*u_n-12=4*u_n+u_n-12=u_n[4]

 

[Barbidoux]