Matrice Spé Math

[skate81]

On considère la matrice A = (1 3).( Considérer que deux parenthèses n'en font qu'une grande pour désigner la matrice).

( 0 1)

1)Déterminer la matrice B telle que A = I₂ + B où I₂ désigne la matrice d'unité d'ordre 2. Calculer B².

2)Démontrer que par récurrence pour tout entier naturel n non nul, Aⁿ = I₂ + nB. Ecrire alors Aⁿ avec tous ses coefficients.

1)B = (0 3)

(0 0)

donc B² = (0 0)

(0 0).

2)J'ai prouvé que A⁰ = 1 et que I₂ + 0B = 1.

Mais ensuite pour faire la récurrence je n'y arrive pas, je ne sais pas comment procéder.

Merci d'avance pour votre aide. Bonne journée.

[Barbidoux]

On considère la matrice A = {{1,3), {0,1}}

1)Déterminer la matrice B telle que A = I₂ + B où I₂ désigne la matrice d'unité d'ordre 2. Calculer B².

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A = {{1,3), {0,1}}= {{1,0), {0,1}}+{{0,3), {0,0}}

avec B={{0,3), {0,0}}

B^2=B.B={{0,3), {0,0}}.{{0,3), {0,0}}={{0,0), {0,0}}

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2)Démontrer que par récurrence pour tout entier naturel n non nul, Aⁿ = I₂ + nB. Ecrire alors Aⁿ avec tous ses coefficients.

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A = {{1,3), {0,1}}= {{1,0), {0,1}}+{{0,3), {0,0}}=I2+B

A.A=A²= {{1,3), {0,1}}, {{1,3), {0,1}}= {{1,6), {0,1}}= {{1,0), {0,1}}+{{0,6), {0,0}}=I₂+2.B

n suppose la relation vraie à l’ordre n

A_n= {{1,3*n), {0,1}}= {{1,0), {0,1}}+{{0,3*n), {0,0}}=I₂+n.B

A_n+1=A*A_n= {{1,3), {0,1}}.{{1,3*n), {0,1}}= {{1,3*(n+1)), {0,1}}= {{1,0), {0,1}}+{{0,3*(n+1)), {0,0}}=I₂+(n+1).B

La relation étant héréditaire est vérifiée pour toute valeur de n

[skate81]

Vous êtes sur qu'à la 1) vous ne vous êtes pas trompé ?

Moi je trouve plutôt B² = {{0,0), {0,0}}

[Barbidoux]

Vous êtes sur qu'à la 1) vous ne vous êtes pas trompé ?

Moi je trouve plutôt B² = {{0,0), {0,0}}

[skate81]

Oui d'accord sinon c'est parfait. Merci beaucoup