Dm Arithmétique

[clem32]

Bonsoir,je n'arrive pas à faire le développement de la récurrence, merci pour votre aide . Cordialement

[clem32]

Bonsoir, j'ai juste réussi à faire la récurrence après je bloque, merci de votre aide; Cordialement

[Barbidoux]

Pour débuter...

1————————————

2³ⁿ-1 est divisible par 7

vrai à l’ordre 1…. 2³-1 est divisible par 7

vrai à l’ordre 2…. 2⁶-1 est divisible par 7

on la suppose vérifiée à l’odre n

2³ⁿ-1 est divisible par 7

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à l’ordre n+1

2³ⁿ⁺³-1 =2³ⁿ*2³-1=2³ⁿ*2³-2³+7=2³*(2³ⁿ-1)+7 est bien divisible par 7

La relation étant héréditaire est vérifiée pour toute valeur de n

2————————————

2³ⁿ-1

le reste de la division par 7 :

des puissance de 2 de type 2^3*n=(2³ⁿ-1)+1 vaut 1

des puissance de 2 de type 2^3*n+1= 2*(2³ⁿ-1)+2 vaut 2

des puissance de 2 de type 2^3*n+2 = 4*(2³ⁿ-1)+4 vaut 4

3a————————————

Si p=3*n alors : 2³ⁿ-1 étant divisible par 7 alors 2^^3*n-1 et 2^6*n-1 et enfin 2^9*n-1 le sont aussi et le reste de la division de Ap

Ap=2^3*n+2^6*n+2^9*n par 7 vaut 3.

—————

Si p=3*n+1 alors

2^p=2^3*n+1=2*2^3*n=2*(2^3*n-1)+2 donc le reste de la division par 7 vaut 2

2^2*p=2^6*n+2 =4*2^6*n=4*(2^6*n-1)+4 donc le reste de la division par 7 vaut 4

2^3*p=2^9*n+3=8*2^9*n=8*(2^9*n-1)+8 donc le reste de la division par 7 vaut 1

conclusion la somme des restes de la division des termes de Ap=2^p+2^2*p+2^3*p lorsque p=3*n+1 valant 2+4+1=7, A_p est divisible par 7

Suite à venir....

[Barbidoux]

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Si p=3*n+2 alors

2^p=2^(3*n+2)=4*(2^3*n)=4*(2^(3*n)-1)+4 dont le reste de la division par 7 vaut 4

2^(2*p)=2^(6*n+4) =16*(2^6*n)=16*(2^(6*n)-1)+16 dont le reste de la division par 7 vaut 2

2^(3*p)=2^(9*n+6)=64*(2^9*n)=64*(2^(9*n)-1)+64 dont le reste de la division par 7 vaut 1

conclusion la somme des restes de la division des termes de Ap=2^(3*n)+2^(6*n)+2^(9*n) lorsque p=3*n+2 valant 2+4+1=7, Ap est divisible par 7

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1001001000=2^4+2^7+2^10=2*(2^3+2^6+2^9) de la forme 2*Ap avec p=3. Le reste de la division de Ap avec p=3*n valant 3 on en déduit que 1001001000=2^4+2^7+2^10 n’est pas divisible par 7 et que le reste de la division de ce nombre par 7 vaut 6.

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1000100010000=2^5+2^9+2^13=2*(2^4+2^8+2^12) de la forme 2*Ap avec p=3+1 donc divisible par 7

[clem32]

Bonsoir Barbidoux,merci infiniment pour votre aide . Cordialement