Exercice Fonctions Et Suites

[Étienne9]

Bonjour à tous,

Voilà, c'est pour une amie qui a des petits soucis à réaliser ces exercices.

Je lui explique déjà dans un premier temps tout ce que je peux mais j'ai pas mal de boulot.

Vous pourriez l'aider s'il vous plaît aussi histoire qu'on vérifie que mes calculs sont bons.

Merci encore

[Barbidoux]

1.1a————————

f(x)=(2*x+1)/(x+1)

Ensemble de définition R-{-1}

1.1b————————

f’(x)=2/(1+x)-(1+2*x)/(1+x)^2=1/(1+x)^2>0 donc fonction croissante

f(0)=1 et f(2)= 5/3 ==> f(x)appartient à [1,5/3] donc à [0,2]

1.1c————————

1.2a————————

1.2b————————

initialisation

0≤u1=1≤2 vrai à l’ordre 1

0≤u2=3/2≤2 vrai à l’ordre 2

0≤u3=8/5 ≤2 vrai à l’ordre 3

on suppose

0≤un≤2

————

u_n+1=(2*u_n+1)/(u_n+1)=(2*(u_n+1)-1)/(u_n+1)=2-1/(u_n+1)

comme u0<un<2 ==> 0≤u_n+1≤2

La relation étant héréditaire est vérifiée pour toute valeur de n

1.2c————————

u1-u2<0

u2-u3<0

on suppose

un-un-1<0

——————

u_n+1=2-1/(u_n+1)

u_n=2-1/(u_n-1+1)

u_n+1-u_n=1/(u_n-1+1)-1/(u_n+1)=(u_n-u_n-1)/((u_n-1+1)*(u_n+1))

les termes de la suite un étant >0

u_n+1-u_n=(u_n-u_n-1)/((u_n-1+1)*(u_n+1))<0

La relation étant héréditaire est vérifiée pour toute valeur de n

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2.1————————

f(x)=(2*x^2-7*x+8)/(x-2)

définie sur R-{2}

2.2————————

f’(x)=4*x-7/(x-2)-(2*x^2-7*x+8)/(x-2)^2=2*(x^2-4*x+3)/(x-2)^2

d’évidence le trinôme x^2-4*x+3 admet deux racines x=1 et x=3 et est du signe du coefficient de x^2 l’extérieur d ses racines

x……………………1…………………..2…………………….3………………

f’(x)……….(+)……(0)……..(-)…………………(-)…………(0)…….(+)……

f(x)…….crois…….Max……decrois…||…..décrois……….Min….crois…,

2.3————————

équation des tangentes

pour x=3 minimum et f’(x)=0

y=f(1)=-3

—————

pour x=4

y=f’(4)*(x-4)+f(4)=3*x/2

2.4————————

[Étienne9]

Bonjour !

Merci beaucoup pour ton aide.