Dm Terminale S : Les Suites

[Camille1308]

Bonjour !

J'ai quelques difficultées à faire mon devoir maison, et j'aimerais savoir si ce que j'ai fais est juste, car les suites... j'ai du mal ! Alors voilà :

Mes données sont : U0 = -1 U1 = 1/2 et Un+2 = Un+1 - 1/4 Un

1) U2 = U1 - 1/4*Un = 1/2 - 1/4*(-1) = 3/4.

Géométrique : Un+1/Un = 1/2/-1 = 1/2 * 1/(-1) = 1/(-2) = -1/2 donc la suite n'est pas géométrique car pour passer de U1 à U2 lorsque je multiplie par -1/2 sa n'obtient pas 3/4

Arithmétique : Un+1-Un = -1/2, lorsque j'additionne U1+ (-1/2) je n'obtient pas 3/4

donc la suite n'est ni géo ni arithmétique.

2) En sachant que Vn = Un+1 - 1/2 Un

V0 = U1 - 1/2 U0 = 1/2 - 1/2*(-1) = 1.

b) Vn+1 en fonction de Vn : Vn+1 = Un+2 - 1/2 Un+1 = 3/4 - 1/2*1/2 = 2/4.

c) Géométrique signifie Vn+1/Vn = q soit ici 2/4/1 et là je trouve 2/4 et non 1/2...

d) Je n'y arrive pas non plus.. Je ne comprend pas comment faire en sachant que ma suite est composé de Un ?

3) a) en sachant que Wn = Un/Vn , W0 = U0/V0 = -1/1 = -1.

b) La j'aurais fais Wn+1 = Un+1/Vn+1 mais je n'ai pas trouvé le bon résultat pour Vn+1 au petit b précédent, car apparemment mon petit c ne correspond pas... !

Et du coup je ne peux pas continuer puisque tout ce poursuit en fonction de cette question

Merci de votre aide !

[Barbidoux]

1——————

u₀=-1

u₁=1/2

u₂=3/4

u₁-u₀≠u₂-u₁ la suite n’est pas arithmétique

u₁/u₀≠u₂/u₁ la suite n’est pas géométrique

2a——————

v₀=1

2b——————

v_n=u_n+2-u_n/4

v_n+1=u_n+2-u_n+1/2=u_n+2-(u_n+2+u_n/4)/2=(u_n+2-u_n/4)/2

2c——————

v_n+1/v_n=1/2

2d——————

v_n=(1/2)^n

3a——————

w₀=-1

3b——————

w_n=u_n/v_n

w_n+1=u_n+1/v_n+1=2*u_n+1/v_n=2*(v_n+u_n/2)/v_n=2+u_n/v_n=2+w_n

3c——————

w_n+1-w_n=2

w_n est une suite arithmétique de raison 2 et de premier terme −1

3d——————

w_n=2*n-1

[Camille1308]

Merci de m'avoir répondu, mais je ne veux surtout pas recopier bêtement et écrire des choses que je ne comprend pas...

Pour le 2) b) je ne comprend pas du tout ce que vous faites, pourquoi v_n=u_n+2-u_n/4 ?? Vn = Un+1 - 1/2Un non ? Pour Vn+1 je comprend que il me fallait Vn dans mon expression et non trouver un chiffre, mais je ne comprend pas le passage de u_n+2-u_n+1/2 à u_n+2-(u_n+2+v_n/4)/2 ??

Pour le 2 c/) : Vn+1/Vn+1 ? Ce n'est pas Vn+1/Vn qui est la formule afin de trouver la raison ? Mais avec Vn+1= (u_n+2-v_n/4)/2 , même lorsque je remplace un+2 et vn par mes données je ne comprend pas comment on tombe sur 1...

Pour le d) la réponse seule ne m'aide pas non plus ...

Le 3) a) d'accord

Pour le 3 b) d'où sort le 2 ? Et pourquoi ma puissance n+1 disparaît de mon Vn ?

3 c) D'accord et pour le premier terme vous avez fait W0 = u0/v0= -1 !

d) Comment passe t'on de Wn = Un/Vn à ce résultat? Ou bien de Wn = Wn+1 - r ?

Désolé... mais j'ai vraiment du mal.

Merci de votre aide

[Barbidoux]

Pour le 2) b) je ne comprend pas du tout ce que vous faites, pourquoi v_n=u_n+2-u_n/4 ??

Vn = Un+1 - 1/2Un non ?

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oui mais regardes l’expression de u_n+2 au dessus et tu verras que

u_n+2-u_n/4= u_n+1-u_n/2=v_n ==> v_n=u_n+2-u_n/4

—————

Pour Vn+1 je comprend que il me fallait Vn dans mon expression et non trouver un chiffre, mais je ne comprend pas le passage de

u_n+2-u_n+1/2 à u_n+2-(u_n+2+u_n/4)/2 ??

—————————

si V_n = U_n+1 - U_n/2

alors

V_n+1= U_n+2 - U_n+1/2

tu remplaces u_n+1 par son expression tirée de l’expression u_n+2=u_n+1-u_n/4 ==> u_n+1=u_n+2+u_n/4

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Pour le 2 c/) : Vn+1/Vn+1 ? Ce n'est pas Vn+1/Vn qui est la formule afin de trouver la raison ?

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oui c’est une faute de frappe il faut lire v_n+1/v_n qui vaut 1/2 donc w est une suite géométrique de raison 1/2 et de premier terme 1 puisque

pour n=0 v₀=u₁-u₀/2=1/2+1/2=1 donc de terme général u_n=1/2^n

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Pour le d) la réponse seule ne m'aide pas non plus ...

———————

tu devrais savoir (vois ton cours) que le terme général d’un suite géométrique de premier terme u0 et de raison r a pour expression u_n=u₀*r^n

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Le 3) a) d'accord

Pour le 3 b) d'où sort le 2 ? Et pourquoi ma puissance n+1 disparaît de mon Vn ?

———————

il a été démontré que v_n est une suite géométrique de raison 1/2 donc v_n+1/v_n=1/2

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3 c) D'accord et pour le premier terme vous avez fait W0 = u0/v0= -1 !

d) Comment passe t'on de Wn = Un/Vn à ce résultat? Ou bien de Wn = Wn+1 - r ?

———————

tu devrais savoir (vois ton cours) que le terme général d’un suite arithmetique de premier terme u₀ et de raison r a pour expression u_n=u₀+n*r

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[Camille1308]

Bonsoir ! et merci

2 b) je comprend beaucoup mieux, en faite on a isolé Un+1 afin de le remplacer dans Vn+1 ? mais je bloque encore sur la fin.. où passe mon Un+2 dans u_n+2-(u_n+2+u_n/4)/2=(u_n+2-u_n/4)/2 ? Vous l'avez mis sous le même dénominateur soit 2 ce qui fais 2Un+2 - Un+2 = Un+2 ?

2 c) je comprend totalement votre démarque.. Il faut que j'utilise ma récurence d'où votre "n=0" représenterais l'initialisation? J'essaye :

Et soit ma suite Vn nommé P(n)

Pour n=0 et V0 = 1,

Vn = U1-1/2Uo = 1/2-1/2*-1 = 1/2+1/2 = 1 ! donc P(n) est vraie. Mais je ne comprend vraiment pas en quoi cela démontre que ma raison est 1/2 ??

2 d) Ah d'accord, même si je n'ai pas compris pourquoi mon q = 1/2, je fais donc Vn = V0*q^n = 1/2^n

3 b) je ne comprend toujours pas malheureusement... la formule est Un+1/Vn+1 mais lorsque je remplace mon Un+1 je tombe sur (Vn+2Un)/Vn+1 mais c'est Vn/Vn+1 et non l'inverse...?

3 d) d'accord je comprend mieux... je cherche trop souvent midi à 14 heures x) !

[Barbidoux]

Bonsoir ! et merci

2 b) je comprend beaucoup mieux, en faite on a isolé Un+1 afin de le remplacer dans Vn+1 ? mais je bloque encore sur la fin.. où passe mon Un+2 dans u_n+2-(u_n+2+u_n/4)/2=(u_n+2-u_n/4)/2 ?

Vous l'avez mis sous le même dénominateur soit 2 ce qui fais 2Un+2 - Un+2 = Un+2 ?

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v_n+1=u_n+2-u_n+1/2=u_n+2-(u_n+2+u_n/4)/2= u_n+2-u_n+2/2-u_n/8=u_n+2/2-u_n/8=(u_n+2-u_n/4)/2

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2 c) je comprend totalement votre démarque.. Il faut que j'utilise ma récurence d'où votre "n=0" représenterais l'initialisation? J'essaye :

Et soit ma suite Vn nommé P(n)

Pour n=0 et V0 = 1,

Vn = U1-1/2Uo = 1/2-1/2*-1 = 1/2+1/2 = 1 ! donc P(n) est vraie. Mais je ne comprend vraiment pas en quoi cela démontre que ma raison est 1/2 ??

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v_n=u_n+2-u_n/4

v_n+1=(u_n+2-u_n/4)/2

v_n+1/v_n=((u_n+2-u_n/4)/2)/(u_n+2-u_n/4)=1/2

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2 d) Ah d'accord, même si je n'ai pas compris pourquoi mon q = 1/2, je fais donc Vn = V0*q^n = 1/2^n

3 b) je ne comprend toujours pas malheureusement... la formule est Un+1/Vn+1 mais lorsque je remplace mon Un+1 je tombe sur (Vn+2Un)/Vn+1 mais c'est Vn/Vn+1 et non l'inverse...?

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w_n+1=u_n+1/v_n+1

_or v_n+1/v_n=1/2

w_n+1=u_n+1/(v_n/2)=2*u_n+1/v_n=2*(v_n+u_n/2)/v_n

et commeu_n+1=(v_n+u_n/2)

w_n+1=2*(v_n+u_n/2)/v_n=2+u_n/v_n=2+w_n=2+u_n/v_n=2+w_n

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