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F est la fonction définie sur [0;+∞[ par f(x)=x³ et g est la fonction définie sur [0;+∞[ par g(x)=x²+4

On désigne par C et D les courbes représentants respectivement les fonctions f et g da,s un repère orthonormé (O,i,j)

1) tracer les courbes C et D en prenant 2 cm comme unité graphique

2) Démontrer que, pour tout x positif, f(x)-g(x)=(x-2)(x²+x+2)

3) calculer les coordonnées du point d'intersection de C et D

4) on admet que, pour tout réel m strictement supérieur à 4, la droite d'équation y=m coupe la courbe C au point P(xp;m) et la courbe D au point Q(xq;m)

l'objectif de cette question est de démontrer qu'il existe une seule valeur de xp, appartenant à [0;2] telle que la distance PQ soit égale à 1

a) sur le graphique faire apparaître approximativement les points P et Q tels que xp appartient à [0;2] et PQ=1

b) ecprimer la distance PQ en fonction de xp et xq

justifier l'égalité f(xp)=g(xq)

c) démontrer que xp est la solution de l'équation (E) :

x³-x²+2x-5=0

puis que (E) a une solution unique dans [0;2]

déterminer la valeur de xp ( à 0,01 pres par défaut) telle que PQ=1

Je bloque sur la question 2) je ne me rappelle plus comment on peut résoudre

et la 4) ... Merci de bien vouloir m'aider

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  • E-Bahut

F est la fonction définie sur [0;+∞[ par f(x)=x³ et g est la fonction définie sur [0;+∞[ par g(x)=x²+4

On désigne par C et D les courbes représentants respectivement les fonctions f et g dans un repère orthonormé (O,i,j)

1) tracer les courbes C et D en prenant 2 cm comme unité graphique

2) Démontrer que, pour tout x positif, f(x)-g(x)=(x-2)(x²+x+2)

———————

f(x)-g(x)=x^3-x^2-4

f(2)-g(2)=0 donc x^3-x^2-4 est divisible par (x-2) est peut se mettre sous la forme du produit de (x-2) par un polynôme du second degré P(x) de la forme (x^2+a*x+2) en identifiant les termes d e même degré de (x-2)*(x^2+a*x+2) et x^3-x^2-4 on obtient a=1 ==> f(x)-g(x)=x^3-x^2-4=(x-2)*(x^2+x+2)

———————

3) calculer les coordonnées du point d'intersection de C et D

———————

l’abscisse du point d'intersection de C et D est la solution unique x=2 de f(x)-g(x)=0 (le polynôme (x^2+x+2) n’ayant pas de racines réelles) et {2,8} sont les coordonnées du point d'intersection de C et D.

———————

4) on admet que, pour tout réel m strictement supérieur à 4, la droite d'équation y=m coupe la courbe C au point P(xp;m) et la courbe D au point Q(xq;m)

l'objectif de cette question est de démontrer qu'il existe une seule valeur de xp, appartenant à [0;2] telle que la distance PQ soit égale à 1

a) sur le graphique faire apparaître approximativement les points P et Q tels que xp appartient à [0;2] et PQ=1

———————

———————

b) exprimer la distance PQ en fonction de xp et xq

justifier l'égalité f(xp)=g(xq)

———————

PQ=xp-xq=1 ==>xq=xp-1

———————

f(xp)=g(xq)=m

———————

c) démontrer que xp est la solution de l'équation (E) :

x³-x²+2x-5=0

———————

f(xp)=m=xp^3

g(xq)=m=xq^2+4 =(xp-1)^2-4=xp^2-2*xp+5

——————--

f(xp)=g(xq)=m ==> xp^3=xp^2-2*xp+5 ==>

xp est solution de E(xp)=xp^3-xp^2+2*xp-5=0

———————

puis que (E) a une solution unique dans [0;2]

———————

h’(xp)=3*x^2-2*x+2 > qq soit x (∆<0)

E(0)=-5,E(2)=3 E(x) est uniformément croissante donc TVI ==> E a une solution unique sur [0,2]

———————

déterminer la valeur de xp ( à 0,01 pres par défaut) telle que PQ=1

———————

Dichotomie

x=1.639

———————

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