Dns Tache Complexe

[moumoute21]

bonjour je n'arrive pas a resoudre cette exercice , quelqu'un pourrait-il m'aider ?

Situation problème :

Tony souhaite établir un record du monde du nombre de poignées de main échangées. Il souhaiterait réunir un groupe de personnes afin qu'elles échangent 1 000 000 de poignées de main.

Aidez Tony en lui indiquand le nombre Minimum de personnes à réunir pour qu'il en soit ainsi.

Document 1 : La règle

La poignée de main échangée par deux personnes compte pour une seule poignée de main.

Document 2 : Exemple d'échanges entre 4 personnes

[Denis CAMUS]

On appelle les personnes : A, B, C, D, ....

S'il n'y a qu'une personne, elle donne 0 poignée de mains

S'il y a 2 personnes :

A donne à B,

B donne à A,

cela fait deux échanges, mais comme c'est la même poignée de main en double, on divise par 2. === > 1

S'il y a 3 personnes :

A donne à B et à C

B donne à A et à C

C donne à A et à B

cela fait 6 échanges, mais comme il y a des poignées de main en double, on divise par 2. === > 3

S'il y a 4 personnes :

A donne à B, à C et à D

B donne à A, à C et à D

C donne à A, à B et à D

D donne à A, à B et à C

cela fait 12 échanges,mais comme il y a des poignées de main en double, on divise par 2. === > 6

Pour résumer ce début de recherche,

s'il y a 2 personnes, chacune donne 1 poignée de main.

s'il y a 3 personnes, chacune donne 2 poignées de main.

s'il y a 4 personnes, chacune donne 3 poignées de main.

Peux-tu dire combien chaque personne donne de poignées de main avec 5 personnes ? Donc combien d'échanges en tout selon la règle ?

Pour 10 rersonnes ?

Pour 100 personnes ?

Si tu as compris jusque là, on verra comment résoudre la dernière question.

[moumoute21]

sur ma feuille j'ai trouver

pour 5 personnes :

A donne B,C,D,E

B donne A,C,D,E

C donne A,B,D,E

D donne E,A,B,C

Edonne A,B,C,D

cela fait 20 échanges,mais comme il y a des poignées de main en double, on divise par 2. === > 10

pour 10 personnes :

A donne B,C,D,E,F,G,H,I,J

B donne A,C,D,E,F,G,H,I,J

C donne A,B,D,E,F,G,H,I,J

D donne A,B,C,E,F,G,H,I,J

E donne A,B,C,D,F,G,H,I,J

F donne A,B,C,D,E,G,H,I,J

G donne A,B,C,D,E,F,H,I,J

H donne A,B,C,D,E,F,G,I,J

I donne A,B,C,D,E,F,G,H,J

J donne A,B,C,D,E,F,G,H,I

cela fait 90 échanges,mais comme il y a des poignées de main en double, on divise par 2. === > 45

Pour 100 personnes : sachant que 10x10=100

donc pour 10 personnes = 90 échanges

donc pour 100 personnes = 90x10 = 900 échanges mais comme il y a des poignées de main en double, on divise par 2 ===> 450

[Denis CAMUS]

Pour 100 personnes : sachant que 10x10=100

donc pour 10 personnes = 90 échanges

donc pour 100 personnes = 90x10 = 900 échanges mais comme il y a des poignées de main en double, on divise par 2 ===> 450

Chaque personne va donner une poignée de main aux autres, donc chacune des 100 personnes va donner 99 poignées de main.

[moumoute21]

Pour 5 : 4

Pour 10 : 9

Pour 100 : 99

Je crois que c'est pas ça ...

[Denis CAMUS]

Ben si !

Chacun donne une poignée de main aux autres, mais pas à lui-même. Donc 1 de moins que le nombre de personnes, et la règle dit de diviser ensuite par 2 pour connaitre le nombre d'échanges.

Ceci étant compris, si je suppose que le nombre de personnes est n :

Quelle formule écrire pour connaître le nombre d'échanges ?

Tu dois avoir maintenant tous les éléments en main pour y arriver.

[moumoute21]

la formule est : n(nx1)/2 ?

[Denis CAMUS]

la formule est : n(nx1)/2 ?

[moumoute21]

Non je vois pas comment ...

[Denis CAMUS]

Développe et dis que c'est égal à 1 000 000 puis produit en croix.

[moumoute21]

Développe : n(n-1)/2 = n x n- n x 1 /2

[Denis CAMUS]

N'oublie pas les parenthèses, car comme tu l'as écrit, ça veut dire qu'il n'y a que n qui est divisé par 2.

(n*n -n) / 2

Écris que c'est égal à 1 000 000.

[moumoute21]

A oui !!! alors :

Développe : n(n-1)/2 = (n x n- n x 1) /2 = (n*n -n) / 2 = 1 000 000

[Denis CAMUS]

A oui !!! alors :

Développe : n(n-1)/2 = (n x n- n x 1) /2

(n*n -n) / 2 = 1 000 000

[moumoute21]

c'est vrai , excusez-moi .. il faut que je réduise (? -n)/2 = 1 000 000

??

[Denis CAMUS]

Oui, car n*n = ... ?

[moumoute21]

Je vois pas comment on pourrait réduire : (...-n)/2

[Denis CAMUS]

n*n = n² donc (n*n-n)/2 = 1 000 000 devient (n² - n) / 2 =1 000 000.

Fais le produit en croix.

[moumoute21]

Je comprends pas !!

[Denis CAMUS]

[moumoute21]

J'avais écrit sur ma feuille exactement que vous, mais c'est pas un produit en croix , c'est mettre sous forme fractionaire ..

[Denis CAMUS]

Ça devient un produit en croix si on suppose que 1 000 000 = 1 000 000 / 1.

Le problème est qu'en 3è tu ne sais pas résoudre une équation avec des carrés.

Alors il va falloir tricher un peu et trouver une approximation :

Le carré d'un nombre > 1 est toujours plus grand que ce nombre, et plus le nombre est grand, plus le carré est encore plus grand :

10² = 100

100² = 10 000

1 000² = 1 000 000

...

et n² - n n'est pas très loin de n² :

10² = 100 et n² - n = 100 - 10 = 90

100² = 10 000 et n² - n =10 000 - 1 000 = 9 000

1 000² = 1 000 000 et n² - n = 1 000 000 - 1 000 = 999 000

On cherche n² - n = 2 000 000. C'est presque comme si on cherchait n² = 2 000 000.

Dans ce dernier cas, comment trouver n ?

[moumoute21]

alors moi j'ai fait :

2 000² = 4 000 000

4 000 000 / 2 = 2 000 000

[Denis CAMUS]

Ce n'est pas la question que je t'ai posée.

Tu dois trouver n qui répond à :

n² - n = 2 000 000

La vraie réponse n'est pas loin de la solution de n² = 2 000 000.

Je te demande comment faire pour trouver n avec la dernière expression écrite. Tu me dis l'opération, puis ensuite, tu peux trouver à l'aide d'une calculatrice.

[moumoute21]

racine carré de 2 000 000 ?