Probabilités (Pile & Face)

[Fineiy]

Bonjour à tous,

pourriez-vous m'aider pour cet exercice s'il vous plaît ? Merci d'avance !

Le nombre q est un nombre réel positif.

Alice lance une pièce bien équilibrée jusqu'au moment où elle obtient pile pour la première fois.

Règle : Bob donne à Alice q^k € si c'est au k^ième lancer qu'Alice a obtenu pile pour la première fois et le jeu s'arrête.

1) q=2

a) Un jeu est limité à une série de 5 lancers maximum, c'est-à-dire que le jeu s'arrête dès qu'Alice obtient cinq fois face, et dans ce cas Alice ne reçoit rien.

Avant de commencer à jouer, quelle somme (la mise) Alice devrait-elle donner à Bob pour que le jeu soit équitable ?

b) Maintenant le jeu est une série de n lancers et Alice accepte de miser 100 €. Pour quelle valeur de n le jeu est-il équitable ?

c) Même question dans le cas où Alice accepte de miser 1000, puis 10000€.

d) Dans le cas où le nombre de parties d'un jeu n'est pas limité, que pensez-vous de la mise ?

2) Maintenant q = 1,9.

a) Un jeu est limité à une série de 10 lancers.

Avant de commencer à jouer, quelle mise Alice devrait-elle donner à Bob pour que le jeu soit équitable ?

b) Maintenant le jeu est une série de n lancers et Alice accepte de miser 15€. Quelle est la plus grande valeur n₀ pour laquelle le jeu est favorable à Bob ?

c) Même question dans le cas où Alice accepte de miser 18€.

d) Dans le cas où le nombre de parties d'un jeu n'est pas limité, que pensez-vous de la mise ?

[pzorba75]

1

a

1 chance sur 2^1=2 de gagner 1€

1 chance sur 2^2=4 de gagner 2€

1 chance sur 2^3=8 de gagner 3€

1 chance sur 2^4=16 de gagner 4€

1 chance sur 2^5=32 de gagner 5€

soit un gain moyen égal 1*1/2+1/4*2+1/8*3+1/16*4+1/32*5

C'est ce gain qu'elle doit donner pour que le jeu soit équitable.

Tout l'exercice est basé sur ce calcul de l'espérance mathématique , gain moyen de ce jeu.

À toi de travailler.