Dérivées De Fonction Exponentielle

[alessandra]

Bonjour,

On considère la fonction f définie sur ]-inf; 0] par f(x) = 1/2*x² +x + 1 - e^x

1/ calculer la dérivée f' de f. Peut-on en deduire les variations et le signe de f sur ]-inf;0]?

2/ calculer la dérivée f'' de f'. Peut-on en deduire les variations et le signe de f' ?

3/ En deduire les variations et le signe de f sur ]-inf;0]

4/ En de duire : qq soit x de ]-inf;0] , x + 1 e^x 1/2*x² +x +1

Voila je suis arretée dès la première question :

1/ f'(x) = x + 1 - e^x

pour tout x de l'intervalle f' est < 0 car e^x est tjrs >0 et donc f(x) serait décroissante.

Mais comment avoir le signe de f et pourquoi on me repose cette question en 4

2/ f" = 1 - e^x

Je dirais que f'' >0 donc f' croissante

En fait je n'arrive pas à trouver le lien entre les questions...

Merci à toute aide extérieure

[pzorba75]

1)

f(x)=1/2*x^2+x+1-e^x

f'(x)=x+1-e^x

-infty<x<=0

-infty<x+1<=1

-inftyy<x+1-e^x<=0

donc f'(x)>=0 donc f décroissante et f(0)0 donc f(x)>=0 sur ]-infty;0]

2)

f"(x)=1-e^x

f"(x)>=0 sur ]-infty;0]

donc sur ]-infty;0] f' est croissante

Ensuite tu reprends le même raisonnement qu'en 1) et tu termines sans trop de difficulté.

Au travail.

[alessandra]

Merci pzorba pour ton aide

je comprends ta technique d'encadrement pour trouver le signe de la dérivée , par contre du côté de - inf ok, mais ce n'est pas si evident du côté 0.

Je vais essayer avec des valeurs de x entre -inf et 0

Quelle est alors la finalité de cet exo : pourquoi cette question 4 à laquelle on repond déjà dans 1 ?

NB : je suppose que tu voulais dire f'<= 0 ( tu as écrit le contraire )

[pzorba75]

La question 4 est un encadrement de e^c sur ]-infty;0], les questions qui précèdent permettent de le démontrer.

[alessandra]

Je voulais dire la question 3 : on repose les mêmes questions sur f . Pourquoi ?

Désolée je suis perdue dans cet exo

[pzorba75]

f' est croissante et f'(0)=0 donc f'()<0 sur ]-infty;0] fonc f décroissante et f(0)=0 donc f(x)>0 sur ]-infty;0]

Il te reste à conclure après cette démonstration en 3 étapes de l'inégalité finale.