Intégrales/suites Ts

[-Miaou]

Bonjour tout le monde ,

Je poste ici afin d'obtenir de l'aide sur un exercice assez difficile sachant qu'on vient de commencez ce chapitre en cours .

J'ai posté en pièce jointe l'énoncé et ce que j'ai fait sur cette exercice ,pour que ça soit plus clair.

Merci d'avance

Cordialement

[-Miaou]

Personne ?

[Barbidoux]

un peu d'aide

1a----------

I₁=int 1/(1+t) dt=[ln(1+x)]₀¹ =ln2

1b--------

pour t appartenant à [0,1 ] 0<1/1+t^n<1

t^n > t^(n+1)

1> 1+t^n > 1+t^(n+1) >0

1> 1/ (1+t^(n+1)) >1/(1+t^n) >0

et

1> Int 1/ (1+t^(n+1)) > Int 1/(1+t^n) >0 ==>I_n+1>I_n la suite In est une suite croissante majorée par 1 et minorée par 0. Elle tend vers 1 lorsque n-> ∞

2----------------

J_n+I_n=int₀¹dt=1 ==> I_n=1-J_n

comme I_n et J_n >0 on en déduit que J_n est une suite décroissante majorée par 1 et minorée par 0. Elle tend vers 0 lorsque n -> ∞

3---------------

Fn est le produit de fonctions dérivables sur [0,1] donc dérivable sur [0,1]

(Fn)'=x^n/(1+x^n)+ln[1+x^n]/n

In₀¹(Fn)'=Int ₀¹ x^n/(1+x^n)+int₀¹ ln[1+x^n]/n

Int₀¹ x^n/(1+x^n)=J_n=In₀¹(Fn)'-int₀¹ ln[1+x^n]/n=[x*ln(2+x^n)/n]₀¹-k_n/n=ln(2)/n-k_n/n