Devoir Maison Math N°1

[maeevah]

ABCD est un carré. Un très ancien problème de géométrie consiste à construire, à la règle et au compas, un triangle équilatéral

CIJ où I et J appartiennent à des côtés du carré.

1. Construire un carré ABCD et son centre O. Construire I, point d'intersection du cercle de centre A passant par O et de [AB], et J point d'intersection du cercle de centre A passant par O et de [AD].

2) Tracer le triangle CIJ.Semble t il equilateral ?

3).a) Le repère (A,B,D) est-il orthonormé ?

b) Déterminer dans ce repère les coordonnées des différents points construits.

c) Caculer CI², CJ², IJ² et en deduire si le triangle CIJ est ou non solution du probleme posé.

deuxième partie :

Construire un carré abcd , son centre o puis E et F points d'intersection du cercle de centre A passant par O et du cercle de centre O passant par A .

2. les droites (CE) et (CF) coupent les côtés [AB] et [AD] du carré en I et J. Construire le triangle CIJ .

3. Justifier que les points I et J sont symétriques par rapport à la droite (AC) .

4. Montrer que EOF=120degrés . En déduire que ICJ=60 degrés . Conclure

[Barbidoux]

1. Construire un carré ABCD et son centre O. Construire I, point d'intersection du cercle de centre A passant par O et de [AB], et J point d'intersection du cercle de centre A passant par O et de [AD].

2) Tracer le triangle CIJ.Semble t il equilateral ?

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oui

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3).a) Le repère (A,B,D) est-il orthonormé ?

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Oui DA et AB sont perpendiculaires et ||DA||=||AB||

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b) Déterminer dans ce repère les coordonnées des différents points construits.

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D{0,1}, A{0,0}, B{1,0} C{1,1} J{0,√2/2} I{√2/2,0}

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c) Caculer CI², CJ², IJ² et en deduire si le triangle CIJ est ou non solution du probleme posé.

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CI{√2/2-1,-1} ==> CI^2=(√2-1)^2+1 =4-2*√2

CJ{-1,√2/2-1} ==> CJ^2=(√2-1)^2+1 =4-2*√2

IJ{√2/2,-√2/2} ==> IJ^2=1

Le triangle CIJ n'est pas équilatéral

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deuxième partie :

Construire un carré abcd , son centre o puis E et F points d'intersection du cercle de centre A passant par O et du cercle de centre O passant par A .

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2. les droites (CE) et (CF) coupent les côtés [AB] et [AD] du carré en I et J. Construire le triangle CIJ .

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Voir ci-dessus

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3. Justifier que les points I et J sont symétriques par rapport à la droite (AC) .

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La droite AC est axe de symétrie du triangle et des cercles FC et CE sont symétriques, AD et AB aussi donc l'intersection J de AD et CF est symétrique de l'intersection I de AB et CE

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4. Montrer que EOF=120degrés . En déduire que ICJ=60 degrés . Conclure

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Le triangle OFA est équilatéral ainsi que le triangle AOE ==> FOA=AOE=π/3 ==> FOE=2*π/3=120°. Le triangle FOC est isocèle ==> CFO=FCO d'autre part CFO+FCO=FOA ==> FCO=π/6 et comme FCO=OCE (par symétrie) ==> FCE=π/3. Les triangles CFE et JCI qui sont isocèles en ayant un angle au sommet égal à π/3 sont des triangles équilatéraux