Nombres Complexes Et Fonctions

[MADI Bél-hadje]

Bonjour à tous !

voici un exercice qui me pose problème, si vous pouvez m'aider ce serait très gentil:

sujet:

le plan est rapporté à un repère orthonormé direct (O,u,v),

on prendra pour unité graphique 4 cm. On appelle f l'application, qui,à tout nombre

zdifférent de -2i,associe Z=f(z)=(z-2+i)/(z+2i).

1.Si z=x+iy, x et y étant deux réel, exprimer la partie réelle et la partie imaginaire de Z en fonction de x et y.

On vérifiera que Re(Z)=(x²+y²-2x+3y+2)/(x²+(y+2)).

2.En déduire la nature de:

a.l'ensemble (E) des point M d'affixe z tels que Z soit un réel;

b.l'ensemble (F) des point M d'affixe z du plan, tels que Z soit un imaginaire pur éventuellement nul.

c.Représenter ces deux ensembles.

3.On appelle A et B les point d'affixe respectives:

z_A = 2-i et z_B = -2i.

a.En remarquant que Z=(z-z_A)/(z-z_B),retrouver l'ensemble (E) par une méthode géométrique.

b.Retrouver de même l'ensenble (F).

Merci !

[Barbidoux]

le plan est rapporté à un repère orthonormé direct (O,u,v), on prendra pour unité graphique 4 cm. On appelle f l'application, qui,à tout nombre z différent de -2i,associe Z=f(z)=(z-2+i)/(z+2i).

1.Si z=x+i*y, x et y étant deux réel, exprimer la partie réelle et la partie imaginaire de Z en fonction de x et y.

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Z=f(z)=(z-2+i)/(z+2*i)

Z=f(x+i*y)=(x+i*y-2+i)/(x+i*y+2*i)=((x-2)+(y-1)*i)/(x+(y+2)*i)

=((x-2)+(y-1)*i)*(x+(y+2)*i)/((x+(y+2)*i)*(x-(y+2)*i))

=((y^2+3*y+x^2-2*x+2)+(2*y-x+4))/(x^2+(2+y)^2)

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2.En déduire la nature de:

a.l'ensemble (E) des point M d'affixe z tels que Z soit un réel;

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l'ensemble (E) des point M d'affixe z tels que Z soit un réel est tel que Im(Z)=0 ==> 2*y-x+4=0 ==> droite d'équation y=x/2-2

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b.l'ensemble (F) des point M d'affixe z du plan, tels que Z soit un imaginaire pur éventuellement nul.

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l'ensemble (F) des point M d'affixe z tels que Z soit un imaginaire pur éventuellement nul est tel que Re(Z)=0 ==> y^2+3*y+x^2-2*x+2 ==>(y+3/2)^2-9/4+(x-1)^2-1+2=0

==> (y+3/2)^2+(x-1)^2=5/4 cercle de centre Ω {1,-3/2} et de rayon √(5/4-=√5/2

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c.Représenter ces deux ensembles.

3.On appelle A et B les point d'affixe respectives:

zA = 2-i et zB = -2i.

a.En remarquant que Z=(z-zA)/(z-zB),retrouver l'ensemble (E) par une méthode géométrique.

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M étant le point d'affixe z alors Z= MA/MB

Lorsque la partie imaginaire de Z est nulle alors les vecteurs MA et MB sont colinéaires et M appartient à la droite AB

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b.Retrouver de même l'ensemble (F).

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A{2,-1}, B{0,-2}

Lorsque la partie relle de Z est nulle alors l'argument de MA/MB vaut π/2 et es vecteurs MA et MB sont orthogonaux et M appartient au cercle de diamètre AB , ayant pour centre le milieu Ω {1,-3/2} de AB et pour rayon |AB|/2=(√(4+1)/2

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[MADI Bél-hadje]

merci baucoup !!!!