Devoir Maison Terminale S

[Maady]

Bonsoir à tous,

J'ai ce dm à faire pour la rentrée et je bloque sur la partie I question 1 aux limites et sur la partie II :

Puis-je avoir de l'aide svp ?

PROBLEME :

On considère la fonction f définie sur ]-1;+ infini[ par f(x)= x/(x+1)

Partie I

1° Etudier la fonction f (variations, limites aux bornes et asymptotes)

2° Trouver une équation de la tangente Tà la courbe représentant f au point d'abscisse 0. Etudier la position relative de cette courbe par rapport à la tangente.

PARTIE II

On considère la suite (un) tel que : u₀=4 ; u_n+1= u_n /(u_n+1)

1° Calculer les 5 premiers termes. Donner la construction géométrique de ces valeurs grâce à la représentationde la fonction f.

2° Ecrire un programme ppour calculer le nième de la suite (u_n). Donner une valeur approchée à 10^-4 de u₅₀.

3° Expliquer pourquoi on a, pour tou n, un =/ 0

4° On pose v_n = 1/u_n. Montrer que v_n est une suite arithmétique.

5° En déduire l'expression de v_n, puis u_n en fonction de n.

6° Déterminer la convergence de la suite (u_n)

Mes recherches :

Partie I :

1° Variations : f'(x)=1/(x+1)²

f' est strictement positive sur son intervalle donc f est strictement croissante sur ce même intervalle

Limite + infini

En factorisant on obtient : x(1)/(x(1+(1/x)))

Donc par quotient lin f(x) = 1

Limite à -1

Par lecture graphique je vois qu'elle tend vers - l'infini mais comment le fait t-on par calcul ??

Asymptote : elle en admet une x=-1 et y=1 ?

2° T= f'(0)(x-0)+f(0)

= x

La courbe C est au dessus de T quand x est inférieur à 0

La courbe C est en dessous de T quand x est sup à 0

Partie II :

1° u₁=4/5 u₂=4/9 u₃=4/13 u₄=4/17 u₅=4/21

[pzorba75]

Limite à -1

Par lecture graphique je vois qu'elle tend vers - l'infini mais comment le fait t-on par calcul ??

Tu poses x=-1+epsilon, et tu fais tendre epsilon vers 0, en distinguant epsilon >0 et epsilon <0.

3° Expliquer pourquoi on a, pour tout n, un =/ 0

Avec u₀=4, on admet u_n>0, vraie au rang 0 donc proposition initialisée.

u_n+1=u_n/(u_n+1},si u_n>0 alors u_n+1>0 et u_n+1=quotient de 2 nombres positifs est positif, proposition héréditaire vraie en n+1.

Pour tout n, u_n>0 pour tout n. donc u_n+1 neq 0

Les autres questions ne sont que du calcul.

A toi de terminer tout seul.

Au travail.

[Maady]

Très bien merci.