Fonctions ,aires Et Trigonométrie Besoin D'aide Ts

[emilie4]

Bonjour, j'ai un exercice à faire mais je suis bloquée sur certaines questions. Je sollicite votre aide s'il vous plait. Voici l'exercice:

On considère un cercle C de centre O et de rayon 1.Soit [AB] un de ses diamètres. Pour tout point M de C différent de A et B , on note x=OAM de sorte que x € ]0;pi/2[.

On désire comparer l'aire f(x) du triangle OAM et l'aire g(x) du domaine délimité par le segment [bM] et le petit arc BM de C.

1.a)Montrer que les triangles OAM et OBM ont la même aire.

(C'est fait).

b)Calculer les angles du triangles OAM. En déduire l'angle BOM en fonction de x.

(C'est fait).

2.Montrer que, pour tout x de ]0;pi/2[ , f(x)=sin(2x)/2.

(C'est fait).

3.En déduire que pour tout x de ]0;pi/2[ , g(x)=x-sin(2x)/2.

(C'est fait).

4.Soit h la fonction définie sur ]0;pi/2[ par h(x)=f(x)-g(x)=sin(2x)-x.

a)Calculer h'(x).

(C'est fait).

b)Etudier le signe de cos(2x)-1/2 sur ]0;pi/2[.

J'ai mis :On voit que cos(2x)-1/2=h'/2

cos(2x)=1/2=2x=pi/3=x=pi/6

cos(2x)-1/2 s'annule si x=pi/6

si x appartient ]0;pi/6[ alors cos2x-1/2>0

si x ]pi/6;pi/2[ alors cos(2x)-1/2<0

c)En déduire le tableau de variation de h sur ]0;pi/2[.

Ce que j'ai mis: x 0 pi/6 pi/2

h'/2 + 0 -

h' + 0 -

h(x) croiss décroiss

d)Montrer qu'il existe un unique réel alpha de ]0;pi/2[ tel que h(alpha)=0.En donner un encadrement d'amplitude 10^-3.

5.Répondre au problème initial et donner le domaine de plus grande aire entre le triangle OAM et le domaine délimité par le segment [bM] et le petit arc BM de C en fonction de x.

Voilà , là je n'ai pas mis toutes mes réponses car je sais que les premières sont justes elles ont déjà été vérifiées , mais j'aurais besoin de votre avis sur les réponses que j'ai mises pour la question 4 b et c , mais aussi de votre aide pour les autres questions ou je suis bloquée. S'il vous plait.

Merci a ceux qui m'aideront.

[Barbidoux]

1a---------------

OP est la hauteur du triangle OAM issue de O

OQ est la hauteur du triangle MOB issue de O

Le triangle AMB est rectangle en M (triangle inscrit dans un cercle ayant un côté comme diamètre)

La quadrilatère POQM est un rectangle. Dans ce rectangle aire MOP=aire MOQ

or comme 2*aire MOP=aire MOA et 2*aire MOQ=Aire MOB ==> les triangles OAM et OBM ont même aire

1b---------------

OAM=OMA=x

AOM=π-2*x ==> BOM=2*x

2---------------

Aire AOM=AM*PO/2

Dans le triangle APO sin(x)=PO/AO=PO

cos(x)=AP/PO=AP d'où

AOM=AM*PO/2=2*sin(x)*cos(x)/2=sin(2*x)/2

3---------------

Le secteur circulaire OMB a pour surface x*OA^2=x où x est exprimé en radian, et donc l'aire sous la corde MB a pour surface g(x)=x-sin(2*x)/2

4a---------------

h(x)=f(x)-g(x)=sin(2*x)-x

h'(x)=2*cos(2*x)-1

4b/c---------------

……..0……………….π/6………………….π/2

h'(x)…1……(+)..……..0……..(-)……………-3

h(x)….0…crois…….Max…..décrois………..

4d---------------

Max=h(π/6}=0.342

h[π/2]=-1.570

La fonction h(x) étant décroissante sur [π/6, π/2] on en déduit que son graphe coupe l'axe des abscisses en un point unique dont l'abscisse est solution de h(x)=0. Sa valeurs a déterminée par dichotomie ==> 0.947<a<0.948 radian

5---------------

La différence entre l'aire f(x) du triangle OAM et l'aire g(x) sous la corde MB est maximale lorsque x≈ 0.9475*180/π=54.29°

[emilie4]

Merci beaucoup Barbidoux :-)