Dm Fonction Logarithme

[Barfi1]

Bonjours

j'ai cet exercice a faire. J'ai fait la première question de la partie 1, mais j'arrive pas a faire la suite.

Mes reponses:

Partie1:

1) f(x)=ln(1+)-x

f'(x)= -x/(1+x)

f(x) prend le signe de x, donc f est decroissante si x appartient a ]0;+infini[ et est croissante si x appartient a ]-1;0]

on voit que f admet un minimum 0, cas f(x)<=f(0)

f(x)<=0

d'ou ln(1+x)<=x

ln(1+u)<=u

Merci beaucoup a tout ce qui va m'aider

[Barbidoux]

2------------

0>-1

-x>-1-x ==> -x>-(1+x)

si x>-1 alors 1+x>0 et -x/(1+x)>-1

3------------

on pose u=-x/(1+x) ==>ln(1-x/(1+x))≤-x/(1+x)

ln(1/(1+x))≤-x/(1+x)

-ln(1+x)≤-x/(1+x)

ln(1+x)≥ x/(1+x)

4--------------

u/(1+u)≤ln(1+u)≤u

k appartenant à N ==> 1/k > -1. On pose u=1/k

(1/k)/(1+1/k) ≤ ln(1+1/k) ≤1/k

1/(1+k)≤ln((1+k)/k)≤1/k

1/(1+k)≤ln(1+k)-ln(k)≤1/k

[Barfi1]

Merci beaucoup Barbidoux

Pourriez vous me donner des pistes de résolution pour la partie 2 svp

Quand on dit appliquer l'inégalité de la partie 1, je dois remplacer k avec quoi ?

[Barfi1]

j'ai essayé de raisonner mais je n'y arrive pas. Je trouve:

1/(2n+1) ln(2n+1)-ln(n+1)<=1/(n+1)

[Barbidoux]

On a démontré que :

1/(k+1)≤ln(k+1)-ln(k)≤1/k

relation valable pour toute valeur de k appartenant à n

on pose k=n+1

1/(n+2)≤ln(n+2)-ln(n+1)≤1/(n+1)

puis k=n+2

1/(n+3)≤ln(n+3)-ln(n+2)≤1/(n+2)

et cela jusqu'à k=2n+1 et l'on fait la somme terme à terme de ce expressions

1/(n+2)+1/(n+3)+……+1/(2*n+1)≤ln(2*n+1)-ln(n+1)≤1/(n+1)+1/(n+2)+1/(n+3)+……+1/(2*n)

soit

un-1/(n+1)+1/(2*n+1)≤ln(2*n+1)-ln(n+1)≤ un

-----------

on en déduit

un-n/((n+1)*(2*n+1))≤ln((2*n+1)/(n+1))≤ un

soit :

un≤ln((2*n+1)/(n+1))+n/((n+1)*(2*n+1))

ln((2*n+1)/(n+1))≤ un

finalement

ln((2*n+1)/(n+1))≤ un≤ ln((2*n+1)/(n+1))+n/((n+1)*(2*n+1))

Lorsque n->∞

ln((2*n+1)/(n+1)) -> ln(2)

et de même

ln((2*n+1)/(n+1))+n/((n+1)*(2*n+1)) -> ln(2)

Thèorème des gendarmes ==> un->ln(2)

[Barfi1]

Merci beaucoup Barbidoux