Urgent! Fonction Exponentielle

[Barfi1]

Bonjours

J'ai un exercice a faire pour demain mais je suis bloquée.

J'ai réussi a faire la question 1) et 2) mais j'arrive pas a faire la question 3) et 4)

Merci d'avance a toute personne qui m'aidera

[Barbidoux]

un peu d'aide.........

1---------------------

exp(0/n)>1

exp(1^2/n)>1+1^2/n

exp(2^2/n)>1+2^2/n

…………

exp(n^2/n)≥1+n^2/n

---------------------

un=exp(0/n)+exp(1^2/n)+………+exp(n^2/n)≥n+1+(1^2/+2^2/n…..n^2)/n=n+1+(n+1)*(2*n+1)/6≥ n+1

puisque un≥n+1 ==> un->∞ lorsque n-> ∞

2---------------------

Puisque

un=exp(0/n)+exp(1^2/n)+………+exp(n^2/n)≥n+1+(1^2/+2^2/n…..n^2)/n

et que n>0 on en déduit que

un≥(1^2/+2^2/n…..n^2)/n

et donc vn=un/n≥ (1^2/+2^2/n…..n^2)/n^2=(n+1)*(2*n+1)/(6*n) >(2*n+1)/6

3---------------

pour n=3

u3=exp(0/3)+exp(1^2/3)+exp(2^/3)+exp(3^2/3)=26.27481

modification de l'algorithme

[Barfi1]

Merci pour votre aide Barbidoux !

J'ai beaucoup essayer de faire la question 4) mais je n'arrive pas.

Est ce que vous pourriez me donnez des pistes de raisonnement svp

[Barbidoux]

4.a------------------

On a démontré que vn>(n+1)*(2*n+1)/6 il suffit donc de prendre n tel que (n+1)*(2*n+1)/6>1000. L'équation du second degré (n+1)*(2*n+1)/6-1000 admet deux racines n=-55.52 et 54.02 et est du signe du coefficient de x^2 à l'extérieur de ses racines et il existe donc bien un naturel tel que vn>(n+1)*(2*n+1)/6>10^(3)

4.b------------------

On a démontré que vn≥(2*n+1)/6 si (2*n+1)/6>1000 ==> n≥3000 alors pour tout n≥ 3000 on a bien vn>1000

4c------------------

J'utiliserais pour cette question l'algorithme précédent modifié comme suit

ce qui conduit à n2≥9