Étude D'une Fonction

[Barfi1]

Bonsoir,

j'ai un exercice de math a faire et je suis bloquer...

j'ai réussi a faire la question 1)a) et 1)b) mais je ne suis pas sure de ma réponse pour le 1)c) (ma réponse est: 1/2).

J'arrive pas a faire le 2)a)

Merci de votre aide ! bonne soirée

[Barbidoux]

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Exercice

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Partie A

f(x)=(1+x)*(√(1+x)-1)/x

1a-----------

lorsque x->∞ alors

lim f(x)=(1+x)*(√(1+x)-1)/x =x*√x/x=√x -> ∞

1b-----------

f(x)=(1+x)*(√(1+x)-1)/x=f(x)=(1+x)*(√(1+x)-1*(√(1+x)+1)/(x*(√(1+x)+1)

=(1+x)*x/(x*(√(1+x)+1)=(1+x)/(√(1+x)+1)

1c-----------

lorsque x-> lim f(x)=(1+0)/(√(1+0)+1)=1/2

2a-----------

f(x) est le rapport de deux fonctions dérivables sur ]0, ∞[ donc dérivable sur cet intervalle

f'(x)= 1/(√(x+1)+1)-√([x + 1)/(2 (√(x+1)+1)^2)=(√(x+1)+2)/(2*(√(x+1)+1)^2)

x étant >0 sur ]0, ∞[, f'(x) l'est aussi et la fonction f(x) est croissante sur cet intervalle.

[coquelicotmiel]

j'ai besoin d'aide pour le b et c la a j'ai trouvé. merci d'avance

[Barbidoux]

2a-----------

f(x) est le rapport de deux fonctions dérivables sur ]0, ∞[ donc dérivable sur cet intervalle

f'(x)= 1/(√(x+1)+1)-√([x + 1)/(2 (√(x+1)+1)^2)=(√(x+1)+2)/(2*(√(x+1)+1)^2)

x étant >0 sur ]0, ∞[, f'(x) l'est aussi et la fonction f(x) est croissante sur cet intervalle.

2b-----------

x…………….0…………………………………..∞

f'(x)………………………………(+)………………

f(x)…………(1/2)……………croissante………∞

2c-----------

f'(x) étant >0 sur ]0, ∞[, la fonction f(x) est croissante sur cet intervalle.

f(0)=1/2, f(1)=2/(1+√2)<1

On en déduit que

f([1/2;1]) appartient à [1/2;1]