Devoir Terminal Spécialité Maths

[zouzoupette]

Bonjour, j'ai un devoir à faire en maths pour la spé et j'aurais besoin d'aide pour deux exercies

1) en raisonnent sur les décompositions de a et b en produits de facteurs premiers, montrer que : si 7 divise a²+b² alors 7 divise a et 7 divise b.

Je me suis renseignée et je trouve des réponses avec des congrus modulo, mais nous n'avons pas aborder ça en cours et je pense que le prof veut se servir de cette exercice pour arriver au cours mais la je suis bloquer ...

2) on me demande de décomposer 75 174 en produits de facteurs premiers : j'ai trouvé 2*3*11*17*67

puis on me demande de déterminer l'entier naturel n tel que n(n+1)(2n+1)=75 174

et la encore je ne sais pas comment faire ...

Merci d'avance

[Boltzmann_Solver]

Bonjour,

Je dirai à première vue qu'il faut raisonner par contraposée. Décomposer la somme me semble un peu ardu à moins de décomposer la périodicité de a^2 mod 7.

L'idée est de prendre la contraposée et d'appliquer les propriétés que tu as vu sur la divisibilité (on fait la même chose avec les congruences).

Pour le 2), un rapide tableau au tableur montre que c'est impossible.

[Barbidoux]

1-------------

si n est un entier et r le reste de la division euclidienne de n par 7 qui peut prendre les valeurs r={0,1,2,3,4,5,6}

et le reste r^2 de la division euclidienne de a^2 par 7 ne peut prendre que les valeurs {0,1,2,4}

---------------------------

si 7 ne divise pas a^2 alors le reste r^2 de la division euclidienne de a^2 ne peut être que 1, 2 ou 4. Comme 7 divise a^2+b^2 on en déduit que :

- si 1 est le reste de la division, alors 7 divise 1+b² donc le reste de la division euclidienne de b^2 par 7 est 6 ce qui n'est pas possible puisqu'il le reste de la division euclidienne de b^2 par 7 ne peut prendre que les valeurs {0,1,2,4}

- si c'est 2 alors 7 divise 2+b^2 donc le reste de la division euclidienne est de b^2 par 7 est 5 ce qui n'est pas possible puisqu'il ne peut prendre que les valeurs {1,2,4}

- si c'est 4 alors 7 divise 4+b^2 donc le reste de la division de b^2 par 7 est 3 ce qui est également impossible.

- enfin si 7 divise a comme il divise a^2+b^2 donc il divise b^2 et comme 7 est premier donc 7 divise b

----------------------

Conclusion : si 7 divise a^2+b^2 alors 7 divise a et divise b

2-------------

75 174=2*3*11*17*67

si n*(n+1)*(2*n+1)=75 174 alors d'évidence n=33 puisque 75 174=(3*11)*(2*17)*67=33*(31+1)*(2*33+1)

[Boltzmann_Solver]

Bonsoir Barbidoux,

Pour la 2), mea culpa, une case s'était déplacée dans mon tableau.

[Barbidoux]

Salut BS

Pour la première question te lire m'a bien aidé ....

Pour la seconde je suis moi même l'auteur involontaire, dans mes interventions, de coquilles, erreurs d'inattention ou de précipitation... et serais très satisfait le jour où je n'en ferais aussi peu que toi..

[zouzoupette]

Pour la question 1) on me demande de décomposer a et b en produit de facteur premiers . Donc comment je peux résoudre mon exercie en me basant uniquement sur les facteurs premiers ?

[Barbidoux]

On ne te demande pas de décomposer a et b en facteurs premiers mais de raisonner sur la décomposition de a et b en facteurs premiers ce qui est implicitement fait dans le raisonnement proposé car si a est décomposable en un produit de facteurs premiers qui ne comprends pas 7 alors il n'est pas divisible par ce nombre et donc le reste de la division euclidienne de a par 7 vaut r={1,2,3,4,6}.

[Boltzmann_Solver]

Salut BS

Pour la première question te lire m'a bien aidé ....

Pour la seconde je suis moi même l'auteur involontaire, dans mes interventions, de coquilles, erreurs d'inattention ou de précipitation... et serais très satisfait le jour où je n'en ferais aussi peu que toi..

[zouzoupette]

- enfin si 7 divise a comme il divise a^2+b^2 donc il divise b^2 et comme 7 est premier donc 7 divise b

[Barbidoux]

- enfin si 7 divise a comme il divise a^2+b^2 donc il divise b^2 et comme 7 est premier donc 7 divise b

[zouzoupette]

Peut on affrimer que si 7 divise b² alors 7 divise b ? car par exemple 12 divise 6² mais 12 ne divise pas 6

[Barbidoux]

Peut on affrimer que si 7 divise b² alors 7 divise b ? car par exemple 12 divise 6² mais 12 ne divise pas 6 oui mais 12 n'est pas un nombre premier