Suite Exo Bac

[-Miaou]

Bonjour, j'aurais besoin de vote aide pour réussir (et comprendre) ce long exercice qui suit :

On considère la suite de nombres réels Un définie sur N par :

Uo=-1 et i1=1/2 et , pour tout entier naturel n , Un+2=Un+1-1/4(Un)

1.) Calculer U2 et en déduire que la suite Un n'est ni arithmétique, ni géométrique.

2.) On définit la suite Un en posant, pour tout entier n :

Vn= Un+1-1/2(Un)

(a)Calculer Vo

(b) Exprimer Un+1 en fonction de Vn.

© En déduire que la suite (Vn) est géométrique de raison 1/2

(d) Exprimer Vn en fonction de n.

3. On définit la suite (wn) en posant, pour tout entier naturel n :

Wn= (Un/Vn)

(a) Calculer Wo

(b) En utilisant l'égalité Un+1 = Vn+1/2(Un), exprimer Wn+1 en fonction de Un et de Vn.

© En déduire que pour tout n de N, Wn+1=Wn+2

(d) Exprimer Wn en fonction de n.

4.) Démontrer que pour tout entier naturel n

Un= (2n-1)/2puissance n

5.) Il y a une dernière partie mais je vous en demande déjà trop donc .. x:

Mes résultats :

Pour le 1.)

J'ai trouvé U2= 3/4

Cette suite est-elle arithmétique ?

==>U1-U0= 3/2

==>U2-U1= 1/4

Ces valeurs sont différentes donc Un n'est pas arithmétique.

Cette suite est-elle géométrique ?

==> U1/U0= -1/2

==> U2/U1= 3/2

Ces valeurs sont différentes donc Un n'est pas géométrique.

2.) a.) Calcul de Vo

On a Vn=Un+1-1/2Un

On veut v0, on prend donc n=0

==> Vo=U1-1/2(Uo)

Je trouve Vo = 1

b.) Exprimer Vn+1 en fonction de Vn :

J'ai fait comme ça : Vn = Un+1-1/2(Un) => Vn+1= Un+2-(1/2)Un+1

c.) Vn est géométrique ?

==>V1/Vo = 1/2

==>V2/V1 = 1/2

Ces valeurs sont égales donc Vn est géométrique de raison 1/2.

d.) Et c'est là que je coince je ne comprends pas la 4.) :x

La 3.)a.) je serais la faire.

La 3.)b.) je ne suis pas sur mais je vais essayer.

La 3.)c.) Je crois qu'il faut faire par récurrence mais pas sur...

La 3.)d.) Même problème que la 2.)d.)

Pouvez-vous m'aide afin que je le termine please

[Barbidoux]

Attention aux notations, éviter les erreurs dans l'énoncé. Utiliser les indices pour plus de clarté

On considère la suite de nombres réels Un définie sur N par :

Uo=-1 et U1=1/2 et , pour tout entier naturel n , Un+2=U_n+1-Un/4

1.) Calculer U2 et en déduire que la suite Un n'est ni arithmétique, ni géométrique.

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u₂=1+1/4=3/4

la suite n'est ni arithmétique car u₁-u₀ ≠ u₂-u₁ ni géométrique car u₂/u₁≠u₁/u₀

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2.) On définit la suite Un en posant, pour tout entier n :

Vn= Un+1-Un/2

(a)Calculer Vo

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v₀=1/2+1/2=1

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(b) Exprimer vn+1 en fonction de Vn.

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v_n=u_n+1-u_n/2

v_n+1=u_n+2-u_n+1/2=u_n+1-u_n+1/2-u_n/4=u_n+1/2-u_n/4=v_n/2

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(c )En déduire que la suite (Vn) est géométrique de raison 1/2

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v_n est une suite géométrique de premier terme v1=1 et de raison 1/2 ==> v_n=1/2^n

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(d) Exprimer Vn en fonction de n.

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voir ci dessus

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3. On définit la suite (wn) en posant, pour tout entier naturel n :

Wn= (Un/Vn)

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(a) Calculer Wo

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w₀=-1

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(b) En utilisant l'égalité Un+1 = Vn+1/2(Un), exprimer Wn+1 en fonction de Un et de Vn.

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w_n+1=u_n+1/v_n+1=(v_n+u_n/2)/(v_n/2)=2+u_n/v_n

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(c )En déduire que pour tout n de N, Wn+1=Wn+2

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w_n+1=w_n+2

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(d) Exprimer Wn en fonction de n.

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w_n est une suite géométrique de raison 2 et de premier terme w₀=-1 ==> w_n=2*n-1

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4.) Démontrer que pour tout entier naturel n

Un= (2n-1)/2^n

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w_n= (u_n/v_n)

on remplace

2*n-1=u_n/2^n ==> u_n=(2*n-1)*2^n

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