noctis Posté(e) le 11 septembre 2013 Signaler Posté(e) le 11 septembre 2013 Bonsoir, J'ai un nouveau exercice de suite auquel je ne comprend pas grand chose cette fois-ci. Un carré d'aire 1m² est divisé en 9 carrés identiques. On colore le carré central. Les huits carrés restant sont à leur tour divisés en 9 carrés égaux. On poursuit avec la même méthode la division et le coloriage du carré. Pour tout entier naturel n 1, on note An l'aire, en m², de la surface totale colorée après n coloriages. On a ainsi A1= 1/9 1) Expliquer pourquoi, pour tout nombre entier naturel n : An+1= 8/9An +1/9 2)Pour tout nombre entier n 1, on pose Bn=An-1 a) Montrer la suite (Bn) est géométrique b) En déduire pour tout n1, l'expression Bn puis de An en fonction de n c) Etudier alors la limite de la suite (An) d) Déterminer à partir de combien d'étapes on aura coloré 85% du carré initial ----------------- J'ai commencer avec la question une en sachant que la surface d'un carre est de L*l soit c² mais je ne voit pas comment l'utiliser. enfin, merci d'avance de l'aide.
E-Bahut Barbidoux Posté(e) le 11 septembre 2013 E-Bahut Signaler Posté(e) le 11 septembre 2013 --------------- Exercice 1 ---------------- 1------------ Un carré d'aire 1m² est divisé en 9 carrés identiques. On colore le carré central soit 1/9 de la surface. A0=1/9 Les huit carrés restant sont à leur tour divisés en 9 carrés égaux de surface 9^2. On colore le carré central soit 8/9^2 de la surface. A1=1/9+8/9^2=1/9+(8/9)*A0 Les 8*8 carrés restant sont à leur tour divisés en 9 carrés égaux de surface 9^3. On colore le carré central soit 8*8/9^3 de la surface. On poursuit avec la même méthode la division et le coloriage du carré. Ce qui donne : A2=1/9+8/9^2+8^2/9^3=1/9+(8/9)*A1 etc…. ce qui fait qu'à la n+1 ème opération An+1=1/9+(8/9)*An 2--------------- Bn=An-1 Bn+1=An+1-1=(8/9)An+1/9-1=(8/9)(An-1) ==> Bn+1/Bn=8/9 Bn est une suite géométrique de raison 8/9 et de premier terme B0=A0-1=-8/9 Bn=(-8/9)*(8/9)^n =-(8/9)^(n+1) An= 1-(8/9)^(n+1) Lorsque n->0 alors (8/9)^(n+1)->0 et lim An = 1 On aura coloré 85% de la surface lorsque An=1-(8/9)^(n+1)≥0.85 ==> 0.15≥(8/9)^(n+1) Deux manière de procéder : Algébriquement : n+1≥ln(0.15)/ln(8/9)=16.10 ==> n≥15.10 soit n=16 Par essais successifs on obtient aussi n=16 puisque 1-(8/9)^17=0.865=86.5%
noctis Posté(e) le 12 septembre 2013 Auteur Signaler Posté(e) le 12 septembre 2013 Merci beaucoup pour l'aide!
noctis Posté(e) le 14 septembre 2013 Auteur Signaler Posté(e) le 14 septembre 2013 Désolé de déranger mais en voulant comprendre l'exercice, il y a des chose qui m'ont parut un peu complexe. •Pour calculer Bn je trouve Bn=( 8/9An +1/9 ) - 1 alors je ne comprend pas. • Alors évidement pour An j'ai An= Bn/(-1) et donc je ne comprend pas d'ou vient la puissance (n+1) • Et juste, le In pour la dernière question signifie quoi? Ah et puis, pour prouver qu'une suite est géométrique, ont ne fait pas normalement (Un+1)/Un ?
E-Bahut Barbidoux Posté(e) le 14 septembre 2013 E-Bahut Signaler Posté(e) le 14 septembre 2013 Avec la mis en indice cela devrait être plus compréhensible 1------------ Un carré d'aire 1m² est divisé en 9 carrés identiques. On colore le carré central soit 1/9 de la surface. A0=1/9 Les huit carrés restant sont à leur tour divisés en 9 carrés égaux de surface 9^2. On colore le carré central soit 8/9^2 de la surface. A1=1/9+8/9^2=1/9+(8/9)*A0 Les 8*8 carrés restant sont à leur tour divisés en 9 carrés égaux de surface 9^3. On colore le carré central soit 8*8/9^3 de la surface. On poursuit avec la même méthode la division et le coloriage du carré. Ce qui donne : A2=1/9+8/9^2+8^2/9^3=1/9+(8/9)*A1 etc…. ce qui fait qu'à la n+1 ème opération An+1=1/9+(8/9)*An 2--------------- Bn=An-1 Bn+1=An+1-1=(8/9)An+1/9-1=(8/9)(An-1)= (8/9)*Bn ==> Bn+1/Bn=8/9 Bn est une suite géométrique de raison 8/9 et de premier terme B0=A0-1=-8/9 Bn=(-8/9)*(8/9)^n =-(8/9)^(n+1) An= 1-(8/9)^(n+1) Lorsque n->0 alors (8/9)^(n+1)->0 et lim An = 1 On aura coloré 85% de la surface lorsque An=1-(8/9)^(n+1)≥0.85 ==> 0.15≥(8/9)^(n+1) Deux manière de procéder : Algébriquement : n+1≥ ln(0.15)/ln(8/9)=16.10 ==> n≥15.10 soit n=16 (ln est le logarithme, si tu n'as pas vu cette fonction utilise les essais successifs) Par essais successifs on obtient aussi n=16 puisque 1-(8/9)^17=0.865=86.5%
noctis Posté(e) le 14 septembre 2013 Auteur Signaler Posté(e) le 14 septembre 2013 Et si je veux commencer mon développement de la justification que la suite est géométrique par Bn+1/Bn, je fais comment? Enfin, de mon coté je trouve (-8/9)(An)
E-Bahut Barbidoux Posté(e) le 14 septembre 2013 E-Bahut Signaler Posté(e) le 14 septembre 2013 noctis, on 14 Sept 2013 - 22:43, said: Et si je veux commencer mon développement de la justification que la suite est géométrique par Bn+1/Bn, je fais comment? Tu fais comme tu veux …. moi j'aide comme je peux... Enfin, de mon coté je trouve (-8/9)(An) Si c'est pour le rapport Bn+1/Bn, alors l'un de nous deux doit se tromper ….
noctis Posté(e) le 14 septembre 2013 Auteur Signaler Posté(e) le 14 septembre 2013 Je ne doute pas de ta reponse, juste que je ne comprend pas mon erreur et en cours on a juste l'habitude de commencer par Bn+1/Bn, enfin, merci encore pour ton grand aide!
E-Bahut Barbidoux Posté(e) le 15 septembre 2013 E-Bahut Signaler Posté(e) le 15 septembre 2013 Si tu veux commencer par Bn+1/Bn voilà comment faire :
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