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[flavien23]

bonjour je n'arrive pas à faire quelques questions pourriez vous m'aider? l'exercice est joint ainsi que mes réponses

merci d'avance!

[Barbidoux]

1-----------

f(x)=1+x+x^2+…..x^n

f(x) est la somme de n+1 termes d'une suite géométrique de raison x

f(x)=(1-x^(n+1))/(1-x)

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f(x) est composé de la somme de fonctions dérivables sur R donc dérivable sur [0,1]

f'(x)=1+2*x+3*x^2+……+n*x^(n-1)

f'(x)=-(n+1)x^n/(1-x)+(1-x^(n+1))/(1-x)^2=(1-(n+1)*x^n+n*x^(n+1))/(1-x)^2

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x*f'(x)=x+2*x+3*x^2+…….+n*x^n=x*(1-(n+1)*x^n+n*x^(n+1))/(1-x)^2

2----------

Les probabilités d'obtenir pile aux kième lancer valent respectivement {1/2, (1/2)^2,(1/2)^3….(1/2)^k}

La probabilité de n'obtenir aucun pile sur k lancer vaut (1/2)^k. La loi de probabilité correspondant à la variable X où X{1,2,3,…..k,0} représente le gain d'Alice et m sa mise est donc P(X){1/2)^2,(1/2)^3….(1/2)^k,(1/2)^k}.

Dans le cas où x=5 alors E(X)=X*p(X)=1/2+2*(1/2)^2+3*(1/2)^3+4*(1/2)4+5*(1/2)^2-0*(1/2)^5. Le jeu est équitable si E(x)-m=0 ==> m= 1/2+2*(1/2)^2+3*(1/2)^3+4*(1/2)4+5*(1/2)^2=1.78 €

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lorsque l'on effectue n lancers dans les même conditions

Les probabilités d'obtenir pile aux nième lancer valent respectivement {1/2, (1/2)^2,(1/2)^3….(1/2)^n}

La probabilité de n'obtenir aucun pile sur n lancer vaut (1/2)^n. La loi de probabilité correspondant à la variable X où X{1,2,3,…..n,0} représente le gain d'Alice et m sa mise est donc P(X){1/2)^2,(1/2)^3….(1/2)^n,(1/2)^n}.

et alors

E(X)=X*p(X)=1/2+2*(1/2)^2+3*(1/2)^3+4*(1/2)4…..+n*(1/2)^n

En utilisant les résultats des questions précédentes

E(X)=(1/2)*(1-(n+1)*(1/2)^n+n*(1/2)^(n+1))/(1-1/2)^2=2*(1-(n+2)/(2^(n+1)))

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Lorsque n->0 alors E(X)= ->2 et lorsque le nombres de parties d'un jeu n'est pas limité, si le jeu veut être est équitable il faut que la mise soit ≤ 2 €

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[flavien23]

merci