Loi De Densite:probabilite

[Naya Ternura]

J'ai une question à propos d'un exercice de probabilité. A chaque reponse je me retrouve avec deux reponses ne sachamt pas laquelle est correcte.

Voici l'énoncé :

Xavier et Yolaine vont tous les lundis à la piscine entre 18 h et 20 h, indépendamment l'un de l'autre.

On appelle X et Y les instants d'arrivée (en minutes après 18 h) de Xavier et Yolaine. X et Y sont assimilés à deux variables aléatoires suivant la loi uniforme sur [0;90].

Chacun reste 30 minutes dans la piscine. Dans cet exercice, on cherche la probabilité que Xavier et Yolaine se rencontrent.

1)a) Xavier arrive à 19 h, dans quel intervalle doit se situer l'instant d'arrivée de Yolaine pour qu'ils se rencontrent et quelle est alors la probabilité qu'ils se rencontrent ?

Ma réponse : Je suis confuse j'ai deux reponse je ne sais pas laquelle est la correcte, car il y a un intervalle de [0;90] et un autre de [0;120]

1-Si Xavier arrive à 19h l'instant d'arrivé de Yolaine doit se situer dans l'intervalle [30 ; 90] pour qu'ils puissent se rencontrer.

La probabilité qu'ils se rencontrent correspond à :

P(Y[30 ;90])=P(30Y90)=(∫[30 ; 90]1/90 dt)=([t/90][30 ; 90])= 60/90= 2/3

2-Si Xavier arrive à 19h l’instant d’arrivé de Yolaine doit se situer dans l’intervalle [60 ; 120] pour qu’ils puissent se rencontrer.

La probabilité qu’ils se rencontrent correspond à :

P(60 ;120)=∫[30 ; 90]1/90dx= 2/3

b) Question analogue si Yolaine arrive à 18 h 15.

Ma réponse :

Si Yolaine arrive à 19h l'instant d'arrivé de Xavier doit se situer dans l'intervalle [0 ; 45] pour qu'ils puissent se rencontrer.

La probabilité qu'ils se rencontrent correspond à :

1-P(X[0 ;45])=P(0X45)=(∫[0 ; 45]1/90 dt)=([t/90][0 ; 45])= 45/90= 1/2

2-P(X[15 ;120])=∫[15 ; 120]1/90 dt= 7/6

2) Le plan est muni d'un repère orthonormé. On associe aux variables aleatoire X et Y le point aléatoire M de coordonnées (X;Y). Dessiner l'ensemble (K) formé par les positions de M. Quelle est son aire (en unités d'aire)?

Ma réponse :

J'ai du mal avec cette question. Si quelqu'un m'expliquer

je n'arrive plus a continuer, je ne sais pas comment calculer l'aire de E, que represente l'ensemble E ?

3) Un événement E correspond à un ensemble (E) de points de (K). On admet que P(E)= aire(E)/aire(K), ce qui correspond à une loi uniforme sur l'ensemble (K).

Hachurer l'ensemble (E1) des points de (K) correspondant à l'événement E1 : « Xavier et Yolaine arrivent tous les deux pendant la première demi-heure ». Déterminer P(E1).

4) Montrer que l'événement E2 « Xavier et Yolaine se rencontrent » est l'événement (X−30 YX+30).

Hachurer l'ensemble (E2) des points de (K) correspondant à E2 et calculer son aire. En déduire la probabilité que Xavier et Yolaine se rencontrent.

Quelqu'un peut m'aider s'il vous plait?

[Barbidoux]

Va voir là un exercice qui y ressemble a été corrigé

[Naya Ternura]

Oui. Merci pour l'aide mais apres j'arrive toujours pas a comprendre pourquoi le sujet me donne un intervalle de [0;90] au lieu de [0;120] car dans l'exo que tu viens de me montrer l'intervalle correspondait effectivement a l'espace de temps entre les heures possibles d'arrivee.

[Naya Ternura]

Quelqu'un peut m'aider?

[Barbidoux]

Xavier et Yolaine vont tous les lundis à la piscine entre 18 h et 20 h, indépendamment l'un de l'autre.

On appelle X et Y les instants d'arrivée (en minutes après 18 h) de Xavier et Yolaine. X et Y sont assimilés à deux variables aléatoires suivant la loi uniforme sur [0;90].

Chacun reste 30 minutes dans la piscine. Dans cet exercice, on cherche la probabilité que Xavier et Yolaine se rencontrent.

1)a) Xavier arrive à 19 h, dans quel intervalle doit se situer l'instant d'arrivée de Yolaine pour qu'ils se rencontrent et quelle est alors la probabilité qu'ils se rencontrent ?

---------------

Je dirais que si Xavier arrive à 19 h, Yolaine peut le rencontrer si elle arrive entre 18 h30 et 19 h30 ce qui correspond à un intervalle de [0,60]. L'intervalle de rencontre possible allant de 18 à 20 h la probabilité que Xavier rencontre Yolaine en arrivant à 19 h vaut 60/180=1/3

b) Question analogue si Yolaine arrive à 18 h 15.

Je dirais que si Yolaine arrive à 18 h 15, Xavier peut le rencontrer si elle arrive entre 18 h et 18 h 45 ce qui correspond à un intervalle de [0,45]. L'intervalle de rencontre possible allant de 18 à 20 h la probabilité que Yolaine rencontre Xavier en arrivant à 18 h 15 vaut 45/180=1/4

Pour la suite :

Si Xavier arrive le premier la possibilité que Xavier rencontre Yolaine est donnée par 0≤x-y≤30 ==> x-30 ≤y et y≤ x

Si Yolaine arrive le premier la possibilité que Yolaine rencontre Xavier est donnée par 0≤y-x≤30 ==> y≤x+30 et y≥ x.

On en déduit que Xavier et Yolaine se rencontrent lorsque x-30 ≤y≤x+30