Théorème De Bézout

[Étienne9]

Bonjour à tous,

J'essaie de résoudre 391u + 851v = 23

Problème : j'ai réussi à résoudre avec le =0 mais pas moyen de trouver pour le =23.

Calcul du PGCD(851,391) :

851 = 391 *2 +69

391 = 69*5 + 46

69 =46*1 + 23

46 = 23 * 2 + 0

On remonte à l'envers le PGCD pour trouver une solution particulière :

46-23*2 = 0

46-(69-46)*2 = 0

(391-69*5)-(69-(391-69*5))*2 = 0

(391-(851-391*2)*5)-((851-391*2)-(391-(851-391*2)*5))*2 = 0

(391-(851*5-391*2*5))-((851-391*2)-(391-(851-391*2)*5))*2 = 0

(391-(851*5-391*10))-((851-391*2)-(391-(851-391*2)*5))*2 = 0

(391-(851*5-391*10))-((851-391*2)-(391-(851*5-391*2*5)))*2 = 0

(391-(851*5-391*10))-((851-391*2)-(391-(851*5-391*10)))*2 = 0

(391-851*5+391*10)-((851-391*2)-(391-(851*5-391*10)))*2 = 0

(391-851*5+391*10)-(2*(851-391*2)-2*(391-(851*5-391*10))) = 0

(391-851*5+391*10)-((2*851-2*391*2)-2*(391-(851*5-391*10))) = 0

(391-851*5+391*10)-((2*851-4*391)-2*(391-(851*5-391*10))) = 0

(391-851*5+391*10)-((2*851-4*391)-(2*391-2*(851*5-391*10))) = 0

(391-851*5+391*10)-((2*851-4*391)-2*391+2*(851*5-391*10)) = 0

(391-851*5+391*10)-((2*851-4*391)-2*391+(2*851*5-2*391*10)) = 0

(391-851*5+391*10)-((2*851-4*391)-2*391+(10*851-20*391)) = 0

(391-851*5+391*10)-((2*851-4*391)-2*391+10*851-20*391) = 0

(391-851*5+391*10)-(2*851-4*391)+2*391-10*851+20*391 = 0

(391-851*5+391*10)-2*851+4*391+2*391-10*851+20*391 = 0

391-851*5+391*10-2*851+4*391+2*391-10*851+20*391 = 0

391-851*5+391*10-2*851+4*391+2*391-10*851+20*391 = 0

37*391 + -17*851 = 0

On en déduit que (37,-17) est une solution particulière de l'équation 391u + 851v = 0

Mais moi je veux pour =1

Quelqu'un peut m'aider s'il vous plaît ? Merci

[Barbidoux]

Tu aurais pu remarquer que 391u + 851v = 23 < == > 17*u+37*v=1

[Étienne9]

Je l'ai remarqué ça en fait mais je ne vous l'ai pas dit et je n'ai pas travaillé avec la simplification.

Ahh oui, alors du coup le PGCD est égal à 1 et on remonte dans le PGCD et on trouve la solution !

C'est bon, je n'avais pas pensé à ça. Ce qui explique le théorème de Bézout => ça ne marche que si les deux nombres sont premiers.