Exercice Dérivation

[aprer]

Bonjour à tous, j'aurai besoin d'aide sur un exercice. Voici le sujet :

On considère la fonction f définie sur R par : f(x) = x/(1+/x/).

1)a)Prouver que f est dérivable sur R*

b) Expliquer pourquoi le théorème de dérivation d'un quotient ne permet pas de savoir si f est dérivable en 0.

2)a) On s'intéresse à la dérivabilité de f en 0. a) Calculer le rapport f(h)-f(0)/h.

b) En déduire que f est dérivable en 0. Que vaut ce nombre dérivé ?

Merci de bien vouloir m'aider

[pzorba75]

Quelle est la fonction f définie sur R par : f(x) = x/(1+/x/)?

f(x)=x/(1+abs(x)) soit pour x<0 abs(x)=-x et f(x)=x/(1-x) et pour x>0 f(x)=x/(1+x)

1

Pour x dans ]-infy;0[ f x:x/(1-x) est définie, continue et dérivable (fonction homographique),

pour x dans ]0;+infy[ f x:->x/(1+x) est définie, continue et dérivable (fonction homographique).

f est dérivable sur R*

2

a

lim[(h/(1-h)-0)/h]=1 quand h tend vers 0 par valeurs négatives

lim[(h/(1+h)-0)/h]=1 quand h tend vers 0 par valeurs positives

b

les nombres dérivés sont égaux en 0- et en 0, f(0-)=f(0+)=0

on peut prolonger le continuité en 0 et f est dérivable en 0 par prolongation de continuité avec f'(0)=1

A toi de rédiger tout cela correctement.