Devoir Maths Proba 1°S

[flavien23]

voici l'énoncé:

Le but de cette question est de comparer l’efficacité par rapport au coût de deux méthodes de

dépistage d’une maladie.

Dans une population de 1000 personnes, on sait que 1 % des personnes sont malades. On admet que

les tests sont fiables à 100 %. Pour savoir si une personne est malade, on fait une analyse de son sang

et on fait un test. Si le test est négatif, la personne n’est pas malade. Si le test est positif, la personne

est malade.

On considère que les résultats des tests forment des événements indépendants.

Méthode A : toutes les personnes de la population subissent le test.

Méthode B : les personnes sont réparties en groupe de 10. Dans chaque groupe, on mélange les

prélèvements pour faire un seul test, ce qui conduit à une première série d’analyses. Un groupe est

négatif lorsqu’aucune des personnes de ce groupe n’est malade. Sinon le groupe est positif et on

procède alors à une analyse de chacune des personnes de ce groupe.

a) Quelle est la probabilité qu’un groupe soit négatif ? En déduire la probabilité p pour qu’un groupe

soit positif.

b) Quel est le nombre moyen de groupes positifs ?

c) Quel est le nombre moyen d’analyses faites avec la méthode B ?

d) Quel est le nombre moyen d’analyses économisées par la méthode B (on donnera une valeur

approchée à une unité près) ?

- pour la question a, j'ai pensé que 10 personnes sur les mille étaient malades, qu'il y avait 100 groupes et qu'il y a 90% de probabilité que le groupe soit négatif et donc 10% positif.

- la question, je ne sais pas comment faire: il peut y avoir entre 1 et 10 groupes positif mais je ne sais pas comment faire la moyenne vu qu' il y a très peu d"e chances qu'il n'y ait qu'un groupe positif.

j'ai une idée: faire la somme de P(X=1) + P(X=2)+ P(X=3)....+ P(X=10) puis diviser par 10.

P(X=1)=(¹⁰1)0.1¹(1-0.1)^10-1

-pour la question c, le nombre de groupes (100) + 10 fois le nombre moyen de groupes positifs

- la question d c'est 1000- réponse question C

je ne suis pas trop sûr surtout pour les questions a et b.

merci de votre aide

[pzorba75]

Pour commencer, la probabilité d'être malade est égale à 1/100 donc la probabilité de ne pas être malade est égale à 99/100.

Soit un groupe de 10 personnes, en considérant une loi binomiale B(10,99/100) la probabilité d'avoir aucun malade parmi les 10 personnes est 99/100^(10). LA probabilité d'avoir au moins un malade et donc un groupe positif est 1-99/100^(10).

A vérifier, comme à chaque réponse obtenue sur un forum.

[pzorba75]

Le nombre moyen de groupes positifs est assimilable à l'espérance de la loi B(100,1-(99/100)^10) soit 100*[1-(99/100)^10]. (loi binomiales 100 groupes de 10, p>0)

Il faut la calculatrice pour l'obtenir et faire l'arrondi.