Exercice Spé Maths Matrice

[__Blackjack__]

Bonjour à tous, je planche depuis quelques jours sur deux exercices que j'ai à rendre pour mercredi et pas moyen de les conclure.

C'est pourquoi je sollicite votre aide, au moins pour me donner les voies pour réussir ces exos.

Exercice 1.

J'ai une matrice M

2 -2 1

2 -3 2

-1 2 0

On me demande de vérifier que (M-I)(M+3I) = 0

Jusque là tout va bien, mais je dois ensuite en déduire que (M-I) est non inversible en raisonnant par l'absurde.

J'ai donc supposé (M-I) inversible, il existe donc une matrice (M-I)' telle que :

(M-I)(M-I)' = (M-I)'(M-I) = I

Et là je bloque, je ne sais pas vers où partir, je me doute qu'il faut réussir à intégrer un (M+3I) quelque part, ou du moins le faire apparaître et obtenir une contradiction à la fin mais ça reste flou.

Exercice 2.

J'ai encore une matrice M

a 1-a

1-b b

On me demande de calculer M²-(a+b)M en fonction de I

Je trouve M²-(a+b)M = (1-a-b)I

Et je dois en déduire les matrices M tel que M²=M

J'ai essayé de partir de quelque chose de simple, par exemple si a=1 et b=1 alors M²=M

Mais en remplacant dans ce que j'ai trouvé ça me donnerait M²-2M = -I

J'ai aussi essayé ceci :

M²-(a+b)M = (1-a-b)I

M² = (1-a-b)I + (a+b)M

Il faudrait donc que (1-a-b) soit égal à 0 et (a+b) soit égal à 1

Mais la résolution du système tourne en rond et ne colle pas avec mon exemple.

Je vous remercie d'avance pour le temps que vous me consacrerez, bon après-midi à vous tous

[pzorba75]

Exercice 2 :

Je trouve M²-(a+b)M = (1-a-b)I Correct

M^2=M

donc M-(a+b)M=(1-a-b)M=(1-a-b)I

donc M=I

[__Blackjack__]

Ca parait logique maintenant merci, il n'y a donc qu'une seule solution !

Reste ce raisonnement par l'absurde !

Encore une fois, grand merci