Suites De Fibonacci. Help!

[Elfeultra]

Le problème de lapins fut proposé en 1202 par Fibonnacci:

Possédant au départ un couple de lapins, combien de couples de lapins obtient-on en n mois (n∈N*) si chaque couple engendre tous les mois un nouveau couple à compter de second mois de son existence?

On note Fn le nombre de couples de lapins au n-ième mois de telle sorte que F1=F2=1.

1) Calculer F3, F4, F5.

2) Déterminer une relation entre Fn+2, Fn+1 et Fn.

3) On note (Un)nEN la suite définie par: Un= Fn+1-((1+√5)÷2) x Fn

(a) Démontrer que ∀n ∈ N*, on a Un+1=((1-√5)÷2)xUn

(b) Calculer U1

© En déduire une relation entre Un et Un-1

(d) En déduire une relation entre Un et U1

(e) Exprimer Un en fonction de n

(f) En déduire une relation entre Fn+1 et Fn

4) On note (Vn)n∈N la suite définie par: Vn=((1+√5)÷2)-((1-√5)÷2)Fn + ((1-√5)/2)n (ici le "n" est a la place du carré)

(a) Démontrer que ∀n ∈ N*, on a Vn+1=((√5+1)÷2)Vn

(b) Calculer V1

© En déduire une relation entre Vn et Vn-1

(d) En déduire une relation entre Vn et V1

(e) En déduire que Fn=(1÷√5)[((1+√5)÷2)n (ici le "n" est a la place du carré) - ((1-√5)÷2)n (ici le "n" est a la place du carré)]

5) Calculer F36

Voilà, j'aimerais de l'aide pour faire cette exercice question par question j'en suis a la question 3)(b).

Merci d'avance pour votre aide.

[pzorba75]

Rapidement quelques éléments pour te mettre au travail:

1 F₀=1, F₁=1,F₂=2, F₃=3, F₄=5, F₅=8

2 F_n+2=F_n+1+F_n

3

a)

U_n=F_n+1-(1+rac(5))/2*F_n

U_n+1=F_n+2-(1+rac(5))/2*F_n+1=F_n+1+F_n-(1+rac(5))/2*F_n=(2-2-rac(5))/2*F_n+1+F_n=(1-rac(5))/2*F_n+1+F_n=(1-rac(5))/2*[F_n+1+2/(1-rac(5))F_n]=(1-rac(5))/2*[F_n+1+2*(1+rac(5))/((1-rac(5))*(1+rac(5))*F_n]=(1-rac(5))/2*[F_n+1-(1+rac(5))/2*F_n]=(1-rac(5))/2*U_n

b)

u₁=F₂-(1+rac(5))/2*F₁=2-(1+rac(5))/2*1=(1-rac(5))/2

c)

u_n=(1-rac(5))/2*U_n-1

d)

En faisant le produit des équations

u₂=(1-rac(5))/2*u₁

u₃=(1-rac(5))/2*u₂

....

U_n=(1-rac(5))/2*u_n-1

et en simplifiant, il vient :

u_n=[1-rac(5))/2]^(n-1)*(1-rac(5))/2=(1-rac(5))ⁿ/2ⁿ

A toi de vérifier tous ces calculs, en prenant bien soin des indices et en rédigeant correctement.

Au travail.

rac(x) signifie racine carrée de x et a^x vaut pour a à la puissance x.