Fonctions Logarithmes

[j-l]

Bonjour je bloque sur un exercice de mathématiques, c'est un peu urgent, merci de votre aide et de votre compréhension.

On considère la fonction f définie sur [0;+oo[ par f(0)=1 et f(x)=(ln(1+x))/x pour x > 0.

1. Préciser la limite de f en zéro.

2.a. Etudier le sens de variation de la fonction g définie sur [0;+oo] par: g(x)=ln(1+x)-(x-(x²/2)+(x³/3)).

Calculer g(0) et en déduire que sur [0;+oo[ :

ln(1+x) < x-(x²/x)+(x³/x).

b. Par une étude analogue, montrer que si x>0, alors :

ln(1+x) > x-(x²/x).

c.Etablir que pour tout x strictement positif on a :

-1/2 < (ln(1+x)-x)/x²< (-1/2)+(x/3)

En déduire que f est dérivable en zéro et que f'(0)=-1/2.

3.a.Soit h la fonction définie sur [0;+oo[ par h(x)=(x/1+x) -ln(1+x).

Etudier son sens de variation et en déduire le signe de h sur [0;+oo[.

b.Montrer que sur ]0;+oo[ , f'(x)=h(x)/x²

c.Dresser le tableau de variation de f en précisant la limite de f en +oo.

d.On désigne par C la représentation graphique de f dans le repère (O,i,j).

Construire la tangente T à C au point d'abscisse 0.

Montrer que C admet une asymptote. Tracer la courbe C.

MERCI de votre aide

[pzorba75]

Pour démarrer:

1

lim(x->0+)f(x)=lim(x->0+)ln(1+x)/x=lim(x->0+)[ln(1+x)-0]/[x-0]=lim(x->0+)[ln(1+x)-ln1]/[x-0], c'est la dérivée en 0 de ln(1+x) soit 1/(1+x)=> lim(x->0+)f(x)=1/1+0=1

lim(x->0+)f(x)=1

2

la suite de l'exercice est du calcul plus long que difficile.

A toi de le faire!

La fonction log est étudiée en classe première d'après ton profil, surprenant.

[j-l]

Ah désolé j'ai oublié de renouveler mon profil, c'était l'année dernière, cette année je suis en Terminale.

Merci pour ton aide