Algorithme, tableur, et suites.

[MAG62]

Re bonjour.. voici l'exercice 3 de mon dm.. Je n'ai jamais fait d'algorithme, et je n'ai jamais utiliser de tableur, je suis totalement perdue.. voici l'énoncé :

Soit la suite (Un) définie par son premier terme u0 = -1 et par la relation U(n+1) = U(n) + n + 1

1) on considère l'algorithme suivant :

VARIABLES

i, n entiers naturels

u réel

ALGORITHME

Saisir n

u recoit -1

Pour i de 1 à n

u recoit u + i

Afficher u

fin pour

Appliquer cet algorithme pour n = 5 et écrire les résultats affichés. Cette suite est-elle arithmétique ?

2) Soit la suite (Vn) définie par v(n) = U(n+1) - U(n)

a) a l'aide d'un tableau, calculer quelques termes des suites (Un) et (Vn) puis émettre une conjecture sur la nature de la suite (Vn)

b) Montrer que (Vn) est une suite arithmétique.

3) a) Calculer v0 + v1 ... V(n-1) en fonction de n

b) exprimer v0 + v1 .. v(n-1) en fonction de U(n)

c) en déduire l'expression de Un en fonction de n

Merci de votre aide..

[Barbidoux]

Soit la suite (Un) définie par son premier terme u0 = -1 et par la relation U(n+1) = U(n) + n + 1

1) on considère l'algorithme suivant :

VARIABLES

i, n entiers naturels

u réel

ALGORITHME

Saisir n

u recoit -1

Pour i de 1 à n

u recoit u + i

Afficher u

fin pour

Appliquer cet algorithme pour n = 5 et écrire les résultats affichés.

Cette suite est-elle arithmétique ?

Non

2) Soit la suite (Vn) définie par v(n) = U(n+1) - U(n)=n+1

a) a l'aide d'un tableau, calculer quelques termes des suites (Un) et (Vn) puis émettre une conjecture sur la nature de la suite (Vn)

Vn est une suite arithmétique de raison 1

b) Montrer que (Vn) est une suite arithmétique.

v₀=2

v₁=3

v₂=4

…….

on suppose v_n=n+2

v_n+1=(n+1)+1=n+3

La relation étant héréditaire est donc vérifiée pour toute valeur de n

3) a) Calculer v0 + v1 ... v(n-1) en fonction de n

S = nombre de termes × (premier terme + dernier terme)/2=

v0 + v1 ... +v(n-1)=n*(3+n)/2

b) exprimer v0 + v1 .. v(n-1) en fonction de U(n)

v0=u1-u0

v1=u2-u1

v2=u3-u2

…………….

v_n-1=u_n-u_n-1

----------------------

v₀ + v₁ .. +v_n-1=u_n-u₀==> u_n=v₀ + v₁ .. +v_n-1+u₀=n*(3+n)/2-1=(n^2+3*n-2)/2

c) en déduire l'expression de Un en fonction de n

[xxnutellaxx]

Avec Algobox, je trouve, quand n=5, 14.... Je pense avoir bon mais vous me mettez un doute là...

[Barbidoux]

Exact je suis allé vite et j'ai fait un erreur dans le calcul avec le tableur (erreur d'affectation de cellule) je reprend....

-----------------

Soit la suite (Un) définie par son premier terme u0 = -1 et par la relation U(n+1) = U(n) + n + 1

1) on considère l'algorithme suivant :

VARIABLES

i, n entiers naturels

u réel

ALGORITHME

Saisir n

u recoit -1

Pour i de 1 à n

u recoit u + i

Afficher u

fin pour

Appliquer cet algorithme pour n = 5 et écrire les résultats affichés.

u₅=14

Cette suite est-elle arithmétique ?

Non

2) Soit la suite (Vn) définie par v(n) = U(n+1) - U(n)=n+1

a) a l'aide d'un tableau, calculer quelques termes des suites (Un) et (Vn) puis émettre une conjecture sur la nature de la suite (Vn)

Vn est une suite arithmétique de raison 1

b) Montrer que (Vn) est une suite arithmétique.

v₀=1

v₁=2

v₂=3

…….

on suppose v_n=n+1

v_n+1=(n+1)+1=n+2

La relation étant héréditaire est donc vérifiée pour toute valeur de n

3) a) Calculer v0 + v1 ... v(n-1) en fonction de n

S = nombre de termes × (premier terme + dernier terme)/2=

v0 + v1 ... +v(n-1)=n*(1+n)/2

b) exprimer v0 + v1 .. v(n-1) en fonction de U(n)

v0=u1-u0

v1=u2-u1

v2=u3-u2

…………….

v_n-1=u_n-u_n-1

----------------------

v₀ + v₁ .. +v_n-1=u_n-u₀==> u_n=v₀ + v₁ .. +v_n-1+u₀=n*(1+n)/2-1=(n^2+n-2)/2

c) en déduire l'expression de Un en fonction de n (voir vérif tableau)

[MAG62]

"Appliquer cet algorithme pour n = 5 et écrire LES resultats".. Comme je ne sais pas du tout manier algobox ou autre.. êtes vous certains qu'il n'y ai que 14 en résultat ?

Et comment je peux justifier que cette suite n'est pas arithmétique ... ?

Sinon, merci beaucoup pour votre aide!

[MAG62]

Pour la question 1.. je pense plus faire comme ça non ?

Exécuter bêtement les instructions.. :

Saisir n donc on rentre 5 et lavariable n contient 5

u recoit -1 u=-1 et n=5

Pour i de 1 à n i=1 (les autres variables sont inchangées)

u recoit u + i u valait -1 et i vaut 1 donc u se met à valoir 0

Afficher u ça affiche 0

fin pour On remonte à l'instruction Pour i de 1 à n et on augmente i de 1 donc i vaut 2 maintenant et on recommence la boucle

puis recommencer pr i=2 i=3 i=4 et i=5 ?

[Barbidoux]

Il te suffit de calculer trois termes consécutifs de la suite à l'aide de l'algorithme proposé.

Par définition une suite arithmétique est telle que u_n+1=u_n+r alors si u₁-u₀ est différent de u₂-u₁ tu peux en déduire que la suite n'est pas arithmétique. Or ici u₀=-1, u₁=0 u₂=2 ==> u₁-u₀ ≠ u₂-u₁ ==> la suite n'est pas arithmétique

[MAG62]

D'accord et pour

Pour la question 1.. je pense plus faire comme ça non ?

Exécuter bêtement les instructions.. :

Saisir n donc on rentre 5 et lavariable n contient 5

u recoit -1 u=-1 et n=5

Pour i de 1 à n i=1 (les autres variables sont inchangées)

u recoit u + i u valait -1 et i vaut 1 donc u se met à valoir 0

Afficher u ça affiche 0

fin pour On remonte à l'instruction Pour i de 1 à n et on augmente i de 1 donc i vaut 2 maintenant et on recommence la boucle

puis recommencer pr i=2 i=3 i=4 et i=5 ?

[MAG62]

Exact je suis allé vite et j'ai fait un erreur dans le calcul avec le tableur (erreur d'affectation de cellule) je reprend....

-----------------

Soit la suite (Un) définie par son premier terme u0 = -1 et par la relation U(n+1) = U(n) + n + 1

1) on considère l'algorithme suivant :

VARIABLES

i, n entiers naturels

u réel

ALGORITHME

Saisir n

u recoit -1

Pour i de 1 à n

u recoit u + i

Afficher u

fin pour

Appliquer cet algorithme pour n = 5 et écrire les résultats affichés.

u₅=14

Cette suite est-elle arithmétique ?

Non

2) Soit la suite (Vn) définie par v(n) = U(n+1) - U(n)=n+1

a) a l'aide d'un tableau, calculer quelques termes des suites (Un) et (Vn) puis émettre une conjecture sur la nature de la suite (Vn)

/index.php?app=core&module=attach&section=attach&attach_rel_module=post&attach_id=12634">1.jpg

Vn est une suite arithmétique de raison 1

b) Montrer que (Vn) est une suite arithmétique.

v₀=1

v₁=2

v₂=3

…….

on suppose v_n=n+1

v_n+1=(n+1)+1=n+2

La relation étant héréditaire est donc vérifiée pour toute valeur de n

3) a) Calculer v0 + v1 ... v(n-1) en fonction de n

S = nombre de termes × (premier terme + dernier terme)/2=

v0 + v1 ... +v(n-1)=n*(1+n)/2

b) exprimer v0 + v1 .. v(n-1) en fonction de U(n)

v0=u1-u0

v1=u2-u1

v2=u3-u2

…………….

v_n-1=u_n-u_n-1

----------------------

v₀ + v₁ .. +v_n-1=u_n-u₀==> u_n=v₀ + v₁ .. +v_n-1+u₀=n*(1+n)/2-1=(n^2+n-2)/2

c) en déduire l'expression de Un en fonction de n (voir vérif tableau)

[Barbidoux]

v₀ + v₁ .. +v_n-1=u_n-u₀==> u_n=v₀ + v₁ .. +v_n-1+u₀=n*(1+n)/2-1

soit

u_n=(n^2+n-2)/2

[xxnutellaxx]

Pour la question 3a),

je suis d'accord pour la formule;

je suis d'accord pour le nbr de terme;

je suis d'accord avec le premier terme;

Mais le dernier terme est Vn-1 donc normalement la somme devrait etre : = n*((1+(n-1))/2 = n*(n)/2 ? non ???

[Barbidoux]

V_n=n+1

V_n-1=(n-1)+1=n

[xxnutellaxx]

Ok, merci j'ai compris :p

[xxnutellaxx]

Pourquoi "v₀ + v₁ .. +v_n-1=u_n-u_{0" ?}

[Barbidoux]

v₀=u₁-u₀

v₁=u₂-u₁

v₂=u₃-u₂

…………….

v_n-1=u_n-u_n-1

----------------------

v₀ + v₁ .. +v_n-1=u_n-u₀

Quand on fait la somme v₀+v₁+v₂₊ ...+v_n tous les termes u₁, u₂, u₃............ u_n-1 disparaissent sauf u_n et u₀