1 ere s histoire de paraboles

[emilie4]

Bonjour,j'ai un exercice sur lequel je bloque voici l'énoncé:

Le plan est rapporté à un repère orthonormal (O;vecteur i;vecteur j).

On appelle (P) et (Q) les paraboles d'équaions respectives y=x^2-6x+5 et y=-x^2+4x-3.

1.Déterminer les coordonnées des sommets de ces deux paraboles,puis tracer (P) et (Q).

2.Résoudre graphiquement et par le calcul les inéquations x^2-6x+5 > 0,-x^2+4x-3>0. (En fait c'est strictement plus grand,mais j'ai pas pu mettre la barre en dessous du signe).

3.Les deux paraboles se coupent en deux points A et B,calculer les coordonnées de ces deux points.

4.étudier les positions relatives des deux paraboles suivant la valeur de x.

Voici ce que j'ai déjà fait:

1.Pour (P) les coordonnées sont (3;-4),pour (Q) les coordonnées sont (2;1).

y'p (x)=0=>2x-6=0 et donc x=3 (d'où y=-4).

y'q (x)=0=>-2x+4=0 et donc x=2 (d'où y=1).

Je ne les aient pas tracées parce que plus loin dans les questions on me dit qu'elles se coupent en deux points alors que quand je les tracent elles ne se coupent qu'en un seul point.

Donc là j'ai besoin d'aide.

2.Pour P la dérivée donne y'p (x)=2x-6.

Précedemment je trouve que x=3 la dérivée s'annule.Je remarque que ]3;+infini[ la dérivée est positive donc la fonction est croissante et sur ]-infini;3[ la dérivée est négative donc la fonction est décroissante.

J'ai fait un tableau de variation: x------- -infini -------- +3 ------ +infini

y------- -0 décroiss------ croiss--- +

Une fois la fonction P,la partie x^2-6x+5>0 correspond à tout ce qui se trouve au dessus de la courbe et au dessus de l'axe des abcisses c'est-à-dire pour y supérieure ou égale à 0.

Je sais qu'il faut que je fasse pareil pour la fonction Q mais je n'y arrive pas.

3.Je n'ai pas réussi mais je sais qu'il faut que je cherche l'abcisses des deux points d'intersection.Et qu'il faut que je résolve yp=yq.

4.Je n'ai pas réussi.

J'espère que quelqu'un pourra m'aider et me dire si mes réponses sont bonnes.

Merci d'avance.

[pzorba75]

1.Pour (P) les coordonnées sont (3;-4),pour (Q) les coordonnées sont (2;1).

y'p (x)=0=>2x-6=0 et donc x=3 (d'où y=-4).

y'q (x)=0=>-2x+4=0 et donc x=2 (d'où y=1).

Je ne les aient pas tracées parce que plus loin dans les questions on me dit qu'elles se coupent en deux points alors que quand je les tracent elles ne se coupent qu'en un seul point.

Donc là j'ai besoin d'aide.

L'étude des extremums est correct, pour les intersections il faut écrire :

p(x)=x^2-6x+5 et q(x)=-x^2+4x-3 puis x^2-6x+5=-x^2+4x-3 > 2x^2-10x+8=0 => x^2-5x+4=0 => (x-1)(x-4)=0 => x=1 ou x=4

Les courbes se coupent aux points d'abscisse 1 soit (1;0) et 4 soit (4;3).

2 Pour l'étude des variations, tu dérives

p'x()=2x-6=2(x-3) donc p'(x)<0 si x<3 p décroissante et p'(x)>0 si x>3 donc p croissante.

q'(x)=-2x+4=-2(x-2) donc q'(x)>0 si x<2 q croissante et q'(x)<0 si x>2 don q décroissante.

A vérifier, par exemple en traçant les courbes avec ta calculatrice, excellent moyen de vérifier son travail.

Au travail.

[emilie4]

Bonjour Zorba,

Merci pour ta réponse,

Pour la question 2 tu es sur que ce n'est pas q'(x)=-x^2+4x=-2 (x-2) plutot que q'(x)-2x+4=-2 ?

Pour la question 4 je ne comprend pas vraiment ce que l'on me demande de faire.

Et sinon je ne peut pas tracer les courbes sur ma calculatrice parce que je ne sais pas comment faire :-(

Merci.

[pzorba75]

Bonjour,

Je maintiens l'expression de q'(x).

4) Etudier les positions relatives des deux paraboles suivant la valeur de x revient à étudier le signe de p(x)-q(x) en fonction de x.

Soit d(x)=p(x)-q(x), en étudiant le signe de d(x) par tout moyen classique, tu pourras conclure :

pour d(x)>0 p(x)-q(x)>0 => p(x)>q(x) la courbe de q se trouve au-dessus de celle de q;

pour d(x)<0 p(x)-q(x)<0 => p(x)<q(x) la courbe de q se trouve au-dessous de celle de q;

pour d(x)=0 p(x)-q(x)=0 => p(x)=q(x) x sont les abscisses des points d'intersection des deux courbes.

Ce n'est pas bien compliqué, à toi de terminer en faisant les calculs pour étudier le signe de d(x).

Plus généralement, une caluclatrice, c'est un peu comme un téléphone moderne, et de temps en temps il faut lire le mode d'emploi pour s'en servir correctement.

Bonne lecture.

[emilie4]

Bonjour,Me revoilà !!!

ça y est pour le 1 j'ai fais le graphique.

Pour le 4 j'ai fais ça : d(x)=p(x)-q(x)=x^2-6x+5-(-x^2+4x-3)=x^2-6x+5+x^2-4x+3=2x^2-10x+8=2(x^2-5x+4=

x=1 est racine de x^2-5x+4

donc je sais factoriser d(x)=2(x1) (x-4).

Juste une dernière question est ce qu'il faut que je fasse un tableau de signes et si oui peut tu m'aider ?

Merci d'avance.

[pzorba75]

L'expression d(x)=2(x-1) (x-4) est à étudier dans un tableau de signe, facile avec 1 et 4 comme valeurs intermédiaires. Ensuite, tu réponds pour conclure en reprenant mes explications de 16.17, tu ne devrais pas avoir de difficultés.

Et tu vérifieras avec ta calculatrice, c'est aussi une manière de vérifier sa démonstration et ses calculs.

Bon courage.

[emilie4]

Pour le tableau de signe voici ce que j'ai fait mais je suis sure que c'est faux:

x-------- - infini --------- 1 --------- 4 --------- + infini

signe de x-------- - --------- ----------0 --------- +

signe de x^2-5x+4 --------- + ----------- 0 --------- 0 --------- +

signe de d(x)---------- - ------------ 0 --------- 0 ---------- +

Voilà mais s'il te plait aide moi parce que là franchement je suis bloquée.

Merci.

[pzorba75]

Tableau de signes de d(x)=2(x-1) (x-4)

x -infy 1 4 +infy

x-1 - 0 + +

x-4 - - 0 +

Produit + 0 - 0 +

Il te reste à conclure, c'est à dire interpréter d(x)>0 en reprenant mes réponses précédentes.

Au travail.

[emilie4]

Ok,merci infiniment :-)

Bon et bien je crois que ça y est j'ai fini de t'embéter avec cet exercice,merci du temps que tu as pris pour m'aider.

Bonne continuation ;-).