Restitution organisée des connaissances (3 points)

[Missvictoria]

Bonjour pourriez-vous m'aider pour cette exercice s'il vous plait

1) Restitution organisée des connaissances

On suppose connues les trois propriétés suivantes.

• Pour tous réels a et b, si 0 < a ≤ 1 et 0 < b ≤ 1 alors 0 < ab ≤ 1 (propriété 1).
• Pour tous réels a et b, si 1 ≤ a et 1 ≤ b alors 1 ≤ ab (propriété 2)
• Pour tous réels α et β , on a l'équivalence : α < β → β - α > 0 (propriété 3)

On considère la fonction f déninie sur ]0 ; +∞[ par f(x) = x+ 1/x.

a) Démontrer que pour tous réels a et b strictement positifs on a :

f(b) - f(a) = (b - a)(ab - 1/ab).

b) En déduire le sens de variation de la fonction f sur l'intervalle [1 ; +∞[, puis sur l'intervalle ]0 ; 1].

c) Donner le tableau de variation de f et tracer sa courbe représentative dans un repère orthonormé.

2) Le produit de deux nombres est égal à 1, déterminer ces deux nombres pour que leur somme soit minimale.

[Missvictoria]

Pourriez-vous m'aider s'il vous plait

[Barbidoux]

1a----------------

on suppose b>a

f(b)-f(a)=a+1/a-b-1/b=a-b+(b-a)/ab=(a-b)*(1-1/ab) =(a-b)*(ab-1)/ab

1b-------------

si a et b appartiennent à ]0,1] alors 0< ab≤1 et f(b)-(fa)≤0 ce qui signifie que f(x) est décroissante

si a et b appartiennent à [1, ∞[ alors 1≤ ab et f(b)-(fa)≥ 0 ce qui signifie que f(x) est croissante

1c--------------

x……..0……………………….1…………………………..……..∞

f(x)…..∞……….decrois…..Min=1………..croissante………∞

2--------------

x*y=1 ==> y=1/x

f(x)=x+y=x+1/x est minimale pour x=1==> y=1 et il n'existe aucune paire de nombres réels différentes tels que le produit de deux nombres étant égal à 1, leur somme soit minimale

[Missvictoria]

Merci

[Missvictoria]

Bonjour Barbidoux je voulais savoir comment as-tu fait pour faire la courbe (vu qu'on à pas de coordonnées)?

[Barbidoux]

On te demande de tracer la fonction f(x)=x+1/x (somme d'un nombre x et de son inverse)