Problème de synthèse : Etudes de fonctions

[aprer]

Bonjour,

J'ai actuellement un exercice mais je bloque à la question 3)e)

On considère la fonction f définie pour x1 par :

f(x) = (x²-x+2)/(x-1)

On note H la courbe représentative de f dans le plan rapporté à un repère (O;I,J).

Soit g la fonction définie par g(x) = x et D sa représentation graphique.

1. A l'aide de la calculatrice, représenter graphiquement la fonction f.

2. Déterminer le réel a tel que f(x) = x + (a/(x-1)) pour tout réel x différent de 1.

a) Comparez f(x) et g(x) selon les valeurs de x.

b) En déduire la position de H par rapport a D.

3. Soit m un nombre quelconque.

Pour chaque valeur de m, on considère la fonction affine h_m définie par :

h_m(x) = mx-m+1

On note _m sa représentation graphique.

a) Quelle est la représentation graphique de h₁ ?

b) Vérifier que A(1;1) est un point de _m pour tout m.

c) Montrer que chercher les points communs de H et de _m revient à résoudre l'équation (E) : (1-m)x²+2(m-1)x+3-m = 0

d) Pour m=1, donner le nombre de solutions de l'équation (E). En donner une interprétation graphique.

e) On suppose m1, donner le nombre de solutions de cette équation selon les valeurs de m. Donner une interprétation graphique.

A l'aide du logiciel, représenter graphiquement la fonction h_m. Vérifier les réponses obtenues aux questions précédentes.

Je sais qu'il faut calculer le delta de (E) : je trouve : (1-m)x²+2(m-1)x+3-m = 0

a= (1-m) b= 2(m-1) c= 3-m

donc : b² - 4ac

(2(m-1))² - 4(1-m)(3-m)

4m²+4 - 4(1-m)(3-m)

4m²+4 - (4-4m)(3-m)

4m²+4 - (7-4m -7m+4m²)

4m²+4 -7 + 4m + 7m - 4m²

11m-3

Est-ce correct ?

Merci de bien vouloir m'aider.

[pzorba75]

Je repars de (1-m)x²+2(m-1)x+3-m = 0 qui peut s'écrire (1-m)x^2-2(1-m)x+3-m=0

donc

delta=[-2(1-m)]^2-4(1-m)(3-m)=4(1-m)^2-4(1-m)(3-m)=4(1-m)[1-m-(3-m)]=4(1-m)*(-2)=8(m-1)

Tu peux étudier le signe de delta en fonction de m et conclure.

[aprer]

Merci, ensuite j'ai fais ça :

3 cas

8m - 8 < 0 ; soit m < 1

8m - 8 = 0 ; soit m = 1

et

8m - 8 > 0 ; soit m > 1

C'est ça que je devais faire ?

Si oui, que dois-je faire ensuite ?

[pzorba75]

De l'équation du second degré en m, tu obtiens avec le signe de "delta" le nombre de racines (qui va dépendre de m), c'est à dire le nombre de points d'intersection de la courbe H et de la droite Delta-m représentant h_m(x).

[aprer]

Merci,

Donc , comme j'ai dit :

3 cas

8m - 8 < 0 ; soit m < 1

8m - 8 = 0 ; soit m = 1

et

8m - 8 > 0 ; soit m > 1

(E) a donc 2 solutions car quand 8m-m est négatif , il n'a pas de solutions . Quand 8m-8 = 0 il ya une solution mais comme m=1 , il n'ya pas des solution car m doit etre différent de 1. Enfin, quand 8m-8 est positif, il ya 2 solutions.

Il ya donc en tout 2 solutions .

C'est cela ?

[pzorba75]

Pour conclure :

si delta(m)>0 2 solutions réelles, la droite coupe la coube en deux points distincts;

si delta(m)=0 1 solution, la droite est tangente à la courbe;

et si delta(m)<0, pas de solutions réelles, la droite ne coupe pas la courbe.

Ce qui doit suffire.

Orthographe : j'ai fais, s'écrit j'ai fait.

Pour la conjugaison des verbes en français et dans d'autres langues, utiliser l'excellent site http://leconjugueur.com réalisé par un ingénieur Télécom, et malheureusement tombé dans l'escarcelle du figaro.fr.

[aprer]

Merci !