Fonction exponentielle

[j-l]

Bonjour, je bloque sur un exo de maths merci de bien m'aider svp !

On considère la fonction f définie sur R par:

-f(x)=(xe^x)/(e^x -1) si x≠0

-f(0)=1

On note C la courbe représentative de f dans un repère orthonormal (O;i;j).

1.a) Déterminer la limitede f en -∞

b)Etablir que, pour tout nombre réel x non nul, on a f(x)=x(1+(1/e^x-1)) et en déduire la limite en +∞

2.Donner sans démontrer, la limite suivante, limx→0 e^x-1/x et démontrer que f est continue en 0.

3.a) démontrer que pour tout nombre réel x, on a e^x ≥ x+1 , et que l'égalité n'a lieu que pour x=0

b)Calculer la dérivée f' de la fonction f et déterminer la fonction g telle que pour tout x non nul, f'(x)=(e^x*g(x))/(e^x-1)².

c)Donner le tableau de variation de f

4.Soient x un nombre réel non nul et les points M(x;f(x)) et M'(-x;f(-x)) de la courbe C.

a)Etablir que f(-x)=x/(e^x-1), puis déterminer le coefficient directeur de la droite (MM').

b)On admet que la fonction f est dérivable en 0. Que suggère alors le résultat précédent ?

[pzorba75]

1

a)

en -infy exp(x)->0, l'exponentielle l'emporte sur la puissance donc x*exp(x) tend vers 0- et exp(x)-1 tend vers -1, donc f tend vers 0+

lim(x->-infy)f(x)=0

b)

f(x)=x*exp(x)/(exp(x)-1)=x/(1-1/exp(x))=x/(1-exp(-x))

quand x tend vers +infy exp(-x) tend vers 0, donc f tend vers +infy

lim(x->+-infy)f(x)=+infy

2

je pense que la limite cherchée est (exp(x)-1)/x que l'on écrit (exp(x)-exp(0))/(x-0) qui tend vers le nombre dérivé en 0 de exp soit 1.

donc avec les conditions de l'énoncé f est continue en 0.

3

Je te laisse continuer, faire des exercices c'est chercher un peu et quelques fois assez longtemps s'il faut revoir son cours.

Au travail.

[j-l]

Tu t'es arreté justement à la question où je bloque c-a-d la 3.a) ^^ mais bon merci tout de même !

[pzorba75]

3

Pour démontrer que exp(x)>=x+1, tu étudies la fonction w(x)=exp(x)-(x+1), domaine de définition, dérivée, sens de variation valeur en x=0 et conclure facilement exp(x)>=x+1.

La suite de la question est du calcul sans trop de difficultés.