Problème de synthèse sur les suites.

[unprobleme]

Ce sujet peut paraître doublon mais dans tous les autres, cette 5eme question n'apparaît nul part, sans compter qu'il en reste une 6eme.

Bonjour,

J'ai un DM a rendre pour bientôt mais je rencontre quelques difficultés pour le terminer, aussi, j'espère que vous pourrez m'aider.

Voilà mon énoncé:

On définit les suites (an) et (bn) par:

a0=1 et b0=7

an+1=1/3(2an+bn)

bn+1=1/3(an+2bn)

1)J'ai calculé les 50 premiers termes des 2 suites grâce à un tableur comme demander et j'ai émis les conjectures suivantes:

-La suite (an) semble être croissante et converger vers 4.

-La suite (bn) semble être décroissante et converger vers 4.

2) J'ai ensuite placé les points A0,A1,A2,B0,B1,B2 sur une droite munie d'un repère (O;i). Les points An et Bn ont pour abscisses respectives an et bn. Sur cette droite on constate que les points An se rapproche de 4 dans le sens croissante (de 0 vers 4) et que les points Bn se rapproche également de 4 mais dans le sens inverse.

3)Puis , la suite (Un) est définie par Un=bn-an. J'ai démontrer que la suite Un est une suite géométrique de raison q=1/3 et de premier terme U0=b0-a0=7-1=6. Le terme général de Un est définit par Un=6*(1/3)^n.

4)J'ai comparer an et bn pour en déduire que bn>an car Un>0 et que Un=bn-an. Puis j'ai étudier le sens de variation de an et bn en faisait an+1-an et bn+1-bn. J'en déduit que an est croissante et que bn est décroissante.

C'est à partir de la 5eme question que je bloque.

5) Démontrer que (an) et (bn) sont deux suites convergentes et qu'elles ont la même limite.

(A noter que dans cette question, il faut juste montrer qu'elles ont même limite et qu'elles convergent sans pour autant prouver qu'il s'agit de 4)

Il est évident que les 2 suites convergent vers 4 mais je ne vois pas comment le démontrer.

J'ai écarté le critère de convergence monotone car on ne parle pas de majoration ni de minoration.

J'ai pensé a calculer la limite de (Un) (qui fait 0) et je me suis dit que comme Un=bn-an la limite de bn moins la limite de an doit être égale à la limite de Un soit 0. Le problème c'est que cette méthode (et je ne suis pas sure quelle soit bonne) ne sert à démontrer que la limite de an = la limite de bn , car si cela marche pour 4-4 , cela peut marcher avec 0-0 ou autre chose.

Merci pour votre aide.

[pzorba75]

5) Démontrer que (an) et (bn) sont deux suites convergentes et qu'elles ont la même limite.

Tu as démontré que u_n=b_n-a_n=6*(1/3)ⁿ. 1/3ⁿ tend vers 0 quand n tend vers +infy, donc u_n tend vers 0, donc a_n tend vers b_n. CQFD

[unprobleme]

Merci

Mais une question me bloque encore:

J'ai démontrer que la suite vn définit par vn=an+bn est égale à vn+1 (donc que vn est constante)

Pour cette dernière question je dois exprimer an et bn en fonction de n.

J'ai tenter de résoudre le système initial en esperant que cela me donne quelque chose, mais rien.

[pzorba75]

Tu as démontré, je n'ai pas tout revérifié :

a_n-b_n=6*(1/3)^n

a_n+b_n=8

Avec ce système d'inconnues a_n et b_n du premier degré, tu résous facilement et tu réponds à la question "Exprimer a_n et b_n en fonction de n".

a_n=1/2[8+6*(1/3)^n]=4+3*1/3ⁿ

b_n=8-a_n=4-3*1/3ⁿ

A vérifier deux fois...