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dérivé


chocolat-x

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Bonjour, pouvez vous m'aider?

Soit f(x)= (2-x) racine(4-x²)

1) Déterminer son ensemble de définition

2) Justifier que f est dérivable sur Df. Etudier la dérivabilité de f en x=-2 puis x=2

interpréter graphiquement

3) Déterminer le fonction dérivee f et montrer que f'(x) est du signe de x²-x-2

donner un tableau de variation

4) Tracer la courbe Cf

Merci d'avance ! :)

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  • E-Bahut

f est définie sur [-2;2] digne de sqrt(4-x^2) où 4-x^2>=0

f est dérivable si lim_{h->0}[f(x+h)-f(x)]/h tend vers une limite finie quand h tend vers 0 (c'est la définition du cours!)

en -2 on a :

f(-2+h)=(2-(-2+h))*sqrt[4-(-2+h)^2]=(4-h)*sqrt([4-(4-4h+h^2)]=(4-h)*sqrt(4h-h^2)

f(-2)=0

lim_(h->0)[f(-2+h)-f(-2)]/h=lim_(h->0)(4-h)*sqrt(4h-h^2)/h=lim_(h->0)'/h tend vers +infy donc f n'est pas dérivable en -2 (par valeurs positives)

en +2 on a :

f(+2-h)=(2-(+2-h))*sqrt[4-(+2-h)^2]=h*sqrt([4-(4-4h+h^2)]=(4-h)*sqrt(4h-h^2)

f(-2)=0

lim_(h->0)[f(+2-h)-f(+2)]/h=lim_(h->0)h*sqrt(4h-h^2)/h=0 donc f est dérivable en +2 (par valeurs négatives)

f'(x)=-sqrt(4-x^2)+(2-x)*(-2x)/(2*sqrt(4-x^2))=-(4-x^2)/sqrt(4-x^2)-x(2-x)/sqrt(4-x^2)=(-4+x^2+x^2-2x)/sqrt(4-x^2)=2*(x^2-x-2)/sqrt(4-x^2)

donc f'(x) est du signe de x^2-x-2 sqrt(4-x^2) est tjrs >0

On écrit , -1 racine évidente de f'(x)=0, donc f'(x)=(x+1)(x-2)

=> f'(x)>0 -2<x<=-1 f croissante

=> f'(x)<=0 -1<x<=2 f décroissante

Le maximum est f(-1)=3*sqrt(3)

Le tracé de la courbe est sans difficulté.

A toi de vérifier tout cela soigneusement, la relecture n'est pas facile sans mise en forme en Latex.

Au travail.

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