Exercice: théorème de ménélaus

[fast92]

Bonsoir,

J'ai besoin de votre aide pour cette exercice:

ABC est un triangle. Les points P,Q et R sont tels que: vecteur PA=alpha vecteur PB,vecteur QB= beta vecteur QC et vecteur RC=y vecteur RA.

alpha,beta, et y sont des réels tels ques :alpha,beta et y ne sont pas égales à 1.

On chosit le repère (A,vecteur AB,vecteur AC).

1) Calculer les coordonnées des points P,Q et R dans le repère choisi.

2) Démontrer que : "P,Q et R sont alignés" équivaut à dire que "alpha beta y=1"

3) alpha=1/2, beta=3, y=2/3. Exprimer respectivement les vecteurs AP,BQ et CR en fonction des vecteurs AB, BC et AC.

Merci

[pzorba75]

Un classique au hit-parade des sujets sur les vecteurs dans un triangle.

Pour te mettre en route et chercher en assimilant les propriétés des vecteurs :

vec(PA)=alpha*vec(PB)=alpha*vec(PA)+alpha*vec(AB) =>(1-alpha)*vec(PA)=alpha*vec(AB) => vec(PA)=alpha/(1-alpha)*vec(AB)

donc les coordonnées de P sont (alpha/(a-alpha;0))

Tu fais pareil pour Q et R, relation de Chasles et la question 1 est bouclée.

Démontrer que des points sont alignés revient à démontrer que des vecteurs définis avec ces points sont colinéaires.

Par exemple, vec(PQ) colinéaire avec vec(PR).

Il faut calculer les coordonnées de ces 2 vecteurs et montrer qu'elles sont proportionnelles. Ce qui amènera une série d'équation avec alpha, beta et gamma, et te permettra de conclure.

Avec les sujets sur les vecteurs, deux outils à disposition pour résoudre : la relation de Chasles et la colinéarité, rien d'autre!

Au travail.

[fast92]

Merci beaucoup je vais essayer de faire avec ce que tu m'as dis.

[fast92]

Petite question vous avez ecrit : vec(PA)=alpha/(1-alpha)*vec(AB) puis après (alpha/(a-alpha;0)) a=1 non ?

[pzorba75]

Il faut écrire :

les coordonnées de P sont (alpha/(a-alpha);0).

Avec mes excuses.

[fast92]

Mais je ne comprens pas pourquoi vous avez écrit (alpha/(a-alpha);0) et au dessus alpha/(1-alpha).

Merci

[pzorba75]

vec(PA)=alpha/(1-alpha)*vec(AB) se traduit dans le repère (A;vec(AB),vec(AC)) par vec(AP)=-vec(PA)=alpha/(alpha-1)*vec(AB), ce qui donne les coordonnées de P (alpha/(alpha-1);0),

Je n'ai pas bien relu et laissé une erreur que tu as trouvée, donc tu sembles comprendre la méthode.

[fast92]

Oui je pense la comprendre merci.

Pour les coordonnées de R je trouve : vecteur (AR)=1/(1-y) vecteur (AC)

Soit (0;1/(1-y))

Pour Q par contre je trouve : (beta-1)vec(AQ) =-vec(AB)+beta vec(AC) mais je sais pas enlever (beta-1) (je sais pas si il faut diviser AB et AC ensemble ou séparer )

Merci pour ton aide.