Exercice sur les suites

[jean luc]

Bonjour

Voila j'ai un exercice de math a faire je n'y arrive pas pouvez vous m'aidez svp.

Voici l'exercice:

f(x)= (e^(x) - 1) / (e^(x) - x)

On considére la suite ( Un) définie par: U0 = 0,5 et pour tout entier naturel , Un+1 = f(Un)

Démontrer que pour tout n de N;

a) 0,5 Un Un+1 1

b) Un - 1 (( 9/10)^n) * ( U0 - 1)

La suite Un est-elle convergente.

Merci

[jean luc]

Pouvez vous m'aidez svp.

[pzorba75]

Pouvez-vous m'aider?

Pour la 1, oui, pour la 2, faut que cherche un peu.

1 On étudie le signe sur [0;1] de f(x)-x=(exp(x)-1)/(exp(x)-x)-1=(exp(x)-1-x*exp(x)+x^2)/(exp(x)-x)=[exp(x)(1-x)+x^2-1]/(exp(x)-x)=(1-x)[exp(x)+x+1)/(exp(x)-x).

0<=x<=1

=> 1-x>0, exp(x)-x>=0 et exp(x)+1+x>0 (voir propriété de la fonction exp)

=> f(x)-x>0 donc f(x)>=x

Donc f(u_n)>u_n soit u_n+1>u_n

ou en notant

1/2<f(1/2) > 1/2<u₀

f(1)=1

Il vient 1/2<u_n<u_n+1<1 CQFD

Au travail pour vérifier ce point.

[jean luc]

Ok pour la premiere equation j'ai compris mais pour la 2) je n'ai aucune idee pouvea vous m'aidez svp.