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Étude d'une fonction du supérieur


arbsan

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Bonjour ! Voilà j'ai un problème, en effet la nouvelle fonction th(x) n'est pas encore très claire pour moi et notre prof nous a donné un petit exercice :

F(x) = x- th(x)

1ère question : donner son domaine de définition

2 eme question : étudier la parité, quelles sont les conséquences ? (elle est impaire car th(-x)= sh(-x)/ ch(-x) = - (sh(x) / ch(x)) = -th(x) ) je n'arrive pas à voir les conséquences ...

3ème question : calculer sa dérivée Et calculer son signe . on sait que la dérivée de ch( x)´= sh(x) et que la dérivée de sh(x)'= ch(x) . On a donc f´(x) = 1- (ch(x)^2-sh(x)^2)/ ch(x)^2 j'en suis pas sur c'est pour c' est pour ça que je n'arrive pas à calculer son signe

4ème question : cette courbe possède t-elle des asymptotes obliques ?

5eme question : étudier la position de la courbe par rapport aux asymptotes éventuelles

6 eme question : établir le tableaux de variation

Merci d'avance de votre réponse

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  • E-Bahut

F(x) = x- th(x)

1ère question : donner son domaine de définition

x et th(x) étant définies sur R la fonction F(x)= x- th(x) est définie sur R

2 eme question : étudier la parité, quelles sont les conséquences ?

F(x)=-F(x) fonction impaire qui admet l'origine comme centre de symétrie

3ème question : calculer sa dérivée Et calculer son signe

F'(x)=1-1/cosh(x)^2

Comme cosh(x)≥1

F'(x)=1-1/cosh(x)^2=(cosh(x)^2-1)/(cosh(x)^2=(cosh(x)-1)*(cosh(x)+1)/cosh(x)^2 ≥ 0 s'annule pour x=0 sans changer de signe ==> Point d'inflexion à tangente horizontale en x=0

4ème question : cette courbe possède t-elle des asymptotes obliques ?

Lorsque x->∞ alors tanh(x) ->1 et F(x)≈ x-1 ->∞ et F(x) admet y=x-1 comme asymptote. Comme F(x)-(x-1)=1-Tan(x) -> 0^+ lorsque x-> ∞ on en déduit que F(x) tend vers son asymptote par valeurs supérieures

Lorsque x-> -∞ alors tanh(x) ->-1 et F(x)≈ x+1 ->∞ et F(x) admet y=x+1 comme asymptote. Comme F(x)-(x+1)=-Tan(x)-1-> 0^- lorsque x-> ∞ on en déduit que F(x) tend vers son asymptote par valeurs inférieures

5eme question : étudier la position de la courbe par rapport aux asymptotes éventuelles

Voir question précédente

6 eme question : établir le tableaux de variation

x..........-∞...............................0...........................∞

F(x).....(-∞).......crois.......pt inflexion.......crois......∞

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