Vecteurs

[Edelwhën]

Bonjour,

J'ai un exercice sur les vecteurs dans un DM mais moi et les vecteurs ça fait deux... Surtout quand il y a des égalités vectorielles à faire... L'exercice est le suivant :

Soit un triangle ABC.

1. On considère les points D et E tels que :

>AD = 2>AB + 3>AC et >AE = >AB - >AC

Montrer que pour tout point M du plan :

4>MA = 2 >MB + 3 >MC - >MD et >-MA = >MB - >MC - >ME.

2. Soit le point F tel que ABCF soit un parallélogramme. I est le milieu de [AF], G est le symétrique de I par rapport au point A, et K est le point tel que : >AK = 1/3 >AB.

a. Exprimer les vecteurs >GK et >GC en fonction de >AB et >AF

b. Montrer que les points G, K et C sont alignés

c. La droite (IK) coupe (GB) en L.

Démontrer que >LG + >LB = >0 et que le quadrilatère IGBC est un parallélogramme.

Voilà donc si vous avez des réponses et des explications à me donner, n'hésitez et si vous pouviez détailler les égalités vectorielles et m'expliquer les démarches entreprises, ce serait gentil. Merci d'avance !

[pzorba75]

1 Pour te mettre sur la voie et utiliser les vecteurs facilement.

Seule la relation de Chasles est utile, dans la question 1 par exemple

vec(AD)=2*vec(AB)+3*vec(AC) on obtient en introduisant M par la relation de Chasles

vec(AM)+vec(MD)=2*(vec(AM)+vec(MB))+3*(vec(AM)+vec(MC))=5vec(AM)+2*vec(MB)+3*vec(MC)

vec(AM)-5vec(AM)=2*vec(MB)+3*vec(MC)-vec(MD)

-4vec(AM)=4*vec(MA)=2*vec(MB)+3*vec(MC)-vec(MD) CQFD!

A toi de t'y mettre et de terminer cet exercice élémentaire.

[Edelwhën]

Merci beaucoup je vais essayer de faire la suite toute seule.

[pzorba75]

Juste une indication :

pour démontrer que des points G, K et C sont alignés, il suffit de démontrer par exemple que vec(GK}=lambda*vec(GC} lambda étant un réel quelconque.

Dans les sujets proposés sur les vecteurs, c'est la seule méthode à utiliser.

[Edelwhën]

Je pense avoir trouvé pour les points alignés mais en prouvant que les vecteurs GK et GC sont colinéaires dans le repère (F; vecFA; vecFC).

Par contre, c'est pour la dernière question que je suis vraiment coincée.