Dm Suites & Limites pour le 10/10

[Kktoes]

Bonsoir !

J'ai ces deux exercices à rendre pour mercredi prochain, mais je dois dire que je sèche

Si vous pouviez m'aider un peu, ce serait fort sympathique !

Merci d'avance !

[Barbidoux]

135-----------

1--------------

k≥1

------

u₁ = 1! ≥ 2^0

u₂ = 2! ≥ 2^1

u₃ = 3! ≥ 2^2

..............

On suppose

u_n = n! ≥ 2^n-1

n ≥ 1 ==> (n+1)*n! ≥ 2*2^n-1 ==> (n+1)! > 2ⁿ

La proposition étant héréditaire est valable pour toute valeur de n en particulier k et k! ≥ 2^k-1

2---------------

1+1+1/2+1/2^2+........1/2^n-1=1+(1+2+2^2+............+2^n-1)/(2^n-1)

1+2+2^2+............+2^n-1 est la somme d'une suite géométrique de premier terme 1 et de raison 2

1+2+2^2+............+2^n-1=(1-2ⁿ)/(1-2)=2ⁿ-1

1+1+1/2+1/2^2+........1/2^n-1=1+(2ⁿ-1)/2^n-1=1+2-1/2^n-1=3-1/2^n-1 <3

d'où

u_n ≤ 3-1//2^(n-1) <3

3------------------

un+1-un=1/(n+1) >0 donc la suite un est croissante elle est majorée par 3 elle est donc convergente.

[Kktoes]

Merci !

[Barbidoux]

1----------

Dans un triangle équilatéral m_n+1 d'ordre n+1 et de surface a_n+1, les droites qui joignent les milieu des côtés découpent le triangle équilatéral en quatre triangles équilatéraux de surface égales et trois de ces triangles sont non consécutifs, il s'en suit que a_n+1=a_n/4 et m_n+1=3*m_n. La suite a_n est une suite géométrique de raison 1/4 et de premier terme a₀ ==> a_n=a₀/4^n

2------------

Conjecture : suite Un est croissante convergente dont la limite est a₀=a^2/2

3------------

U_n+1-U_n est la différence entre un triangle de rang n et de surface a_n et 3ⁿ⁺¹ triangles de rang u_n+1 et de surface a_n+1

U_n=a₁+3*a₂+3²*a₃+........+3^n-1*a_n

U_n+1=a₁+3*a₂+3²*a₃+........+3^n-1*a_n+3ⁿ*a_n+1

U_n+1-U_n=3ⁿ*a_n+1=3ⁿ*a₀/4ⁿ⁺¹ et comme a₀=a²/2 ==>U_n+1-U_n=3ⁿ*a_n+1=(3ⁿ/4ⁿ⁺¹)*(a²/2)

4------------

U₂=U₁+(1/4)*(3/4)*(a²/2)

U₃=U₂+(1/4)*(3/4)²*(a²/2)

U₄=U₃+(1/4)*(3/4)³*(a²/2)

...............

U_n=U_n-1+(1/4)*(3/4)^n-1*(a²/2)

---------------------

U_n=U₁+(1/4)*(3/4)*(a²/2)+(1/4)*(3/4)^2*(a²/2)+.......+(1/4)*(3/4)^(n-1)*(a²/2)

U_n=(1/4)*(a²/2)+(1/4)*(3/4)*(a²/2)+(1/4)*(3/4)²*(a²/2)+.......+(1/4)*(3/4)^n-1*(a²/2)

U_n=(1/4)*(a²/2)*(1+(3/4)+(3/4)²+.......+(3/4)^n-1)

La somme des n termes d'une suite géométrique de premier terme 1 et de raison 3/4 vaut (1-(3/4)ⁿ)/(1-3/4)=(1-(3/4)ⁿ)/4 il s'en suit que :

Un=(1/4)*(a²/2)*(1-(3/4)ⁿ)/4=(a²/2)*(1-(3/4)ⁿ)