DM sur Les suites

[Chloé5]

Marc possède 200euros. Il decide de dépenser chaque mois la moitié de son argent car, pour compenser, il travaille et économise 180euros par mois.

Il espère ainsi pouvoir dépenser plus tout en augmentant plus tout en augmentant ses économies.

On note (Un) le montant de ses économies le n ème mois

1a)Déterminer U0, U1, U2 et U3

1b) Peut on confirmer les espérances de Marc?

c)Donner la récurrence liant Un+1 à Un

2) On note (Vn) la suite définie sur N par Vn= Un-360

a) Montrer que pour tout n appartenant a N par Vn+1= 1/2Vn

b/ En déduire le terme général de (Vn) puis de (Un)

c/ préciser ce que peut espérer Marc en étudiant les variations et la limite de Un

3a) Plus généralement, en notant C le montant initial des économies de Marc, exprimer Un en fonction de n et de C.

b/ Le montant initial de ses économies influe-t-il sur la limite de (Un)? sur ses variations?

[Barbidoux]

Marc possède 200euros. Il decide de dépenser chaque mois la moitié de son argent car, pour compenser, il travaille et économise 180euros par mois.

Il espère ainsi pouvoir dépenser plus tout en augmentant plus tout en augmentant ses économies.

On note (Un) le montant de ses économies le n ème mois

1a)Déterminer U0, U1, U2 et U3

1b) Peut on confirmer les espérances de Marc?

oui cf tableau

c)Donner la récurrence liant Un+1 à Un

U_n+1 = U_n/2+180

2) On note (Vn) la suite définie sur N par Vn= Un-360

a) Montrer que pour tout n appartenant a N par Vn+1= 1/2Vn

V_n= U_n-360 ==> V_n+1= U_n+1-360= U_n/2+180-360=U_n/2-180=(U_n-360)/2=V_n/2

b/ En déduire le terme général de (Vn) puis de (Un)

V_n est une suite géométrique de raison 1/2 et de premier terme V₀=-180

V_n=V₀/2^n=-180/2^n

U_n=V_n+360=360-180/2^n

c/ préciser ce que peut espérer Marc en étudiant les variations et la limite de Un

lorsque n->∞ Lim U_n->360

3a) Plus généralement, en notant C le montant initial des économies de Marc, exprimer Un en fonction de n et de C.

Un=360-C/2^n

b/ Le montant initial de ses économies influe-t-il sur la limite de (Un)?

Non puisque lorsque n->∞ Lim U_n->360

sur ses variations?

Non puisque U_n+1-U_n= -C/2^(n+1)+C/2^n=(C/2^n)*(1-1/2)=c/2^(n+1) >0 et la suite U_n est croissante quelques soit la valeur de initiale de C puisque C est >0.