Exercice de Dm..

[Madidi]

J'ai un DM à fair emais je ne comprends aps cet exercice. Un coup de main serait apprésiable.

ABC un triangle isocèle en A tel que BC = 12

H est le pied de la hauteur issue de A et AH = 9

P est un point de [bH]

Soit (d) la perpendiculaire à la droite (BC) passant par P. On note N le point d'intersection de (AB) avec (d).

On désigne par M et Q les symétriques respectifs des points N et P par la réflexion d'axe (AH)

On se propose de déterminer les dimensions du rectangle MNPQ d'aire maximale inscrit dans ce triangle.

1) Démontrer que MNPQ est un rectangle.

2) On se propose de déterminer les dimensions du rectangle MNPQ d'air emaximale inscrit dans ce triangle.

a- On pose HP=HQ = x. Justifier que x E [0;6].

b- Démontrer que MQ = (18-3x)/2

c- On note f(x) l'aire du rectangle MNPQ.

Démontrer que pour tout x de [0;6] f(x)=-3x²+18x

d- Donner le tableau de variation de f sur[0;6]

e- En déduire que la fonction f admet un maximum. Quelle est cette valeur maximale?

Préciser les dimensions du quadrilatère MNPQ d'aire maximale.

Voilà, j'ai un très gros problème.. Je ne comprends pas..

Merci de votre aide.

[Barbidoux]

a- On pose HP=HQ = x. Justifier que x E [0;6].

x appartient à [bC]=6 ==> x appartient à [0,6]

b- Démontrer que MQ = (18-3x)/2

Thalès ==> CQ/CH=MQ/AH ==> (6-x)/6=MQ/9 ==> MQ=3*(6-x)/2

c- On note f(x) l'aire du rectangle MNPQ.

Démontrer que pour tout x de [0;6] f(x)=-3x²+18x

Aire PNMQ=S(x)=QM*PQ=2*x*3*(6-x)/2=-3*x^2+18*x

d- Donner le tableau de variation de f sur[0;6]

Forme canonique de S(x)

S(x)=-3*(x^2-6*x)= -3*((x-3)^2)-9)

permet de dire que le graphe de f(x) est une parabole qui s'ouvre vers le bas (coefficient de x^2 <0) qui admet la droite d'équation x=3 comme axe de symétrie et que les coordonnées de son sommet sont {3,27}.

x........(-∞)..............................(3)........................(∞)

f(x).....(-∞)..........crois............Max......decrois.......(-∞)

e- En déduire que la fonction f admet un maximum. Quelle est cette valeur maximale?

Préciser les dimensions du quadrilatère MNPQ d'aire maximale.

maximum égal à 27 et dimensions PQ=6 et MQ=9/2