Suite (recurence)

[jean luc]

Bonjour

Voilà j'ai un petit exercice sur les suites où on doit utiliser la récurrence mais je bloque pouvez vous m'aidez svp.

Voici l'exercice:

On considère la suite (Un) definie par u0= 0 et pour tout entier naturel n, Un+1= (Un)^2 +1

Démontrez par récurrence que pour tout entier naturel n> ou égale a 4 , Un>ou = à 2^n.

Merci

[Barbidoux]

u₁=1

u₂=2

u₃=5

u₄=26>2^4=16

u₅=677>2^5=32

...............

On suppose

u_n=(u_n-1)^2+1 >2^n

on calcule

u_n+1=(u_n)^2+1=((u_n-1)^2+1)^2+1

or si (u_n-1)^2+1 >2^n alors ((u_n-1)^2+1)^2 >(2^n)^2=2^(2n)

et

u_n+1= ((u_n-1)^2+1)^2 +1 >2^(2n)+1 > 2^(2n)>2^(n+1) puisque n>4

La relation étant héréditaire est donc valable pour toute valeur de n et u_n≥ 2^n