dm de math

[med.]

bonjour voici mon dm.

exercice

on considère la fonction f définie pour tout x ∈ ] - ;-1[ U ]-1;1[ U]1 ;+[ par :f(x)= (3x²+4x-3)/(x²-1)

on note Cf la courbe représentatif de f dans le plan rapporte a un repère orthonormal (o;i;j)

1. monter qu'il existe trois réel a , b et c tels que pour x ≠ -1 et x ≠ 1 f(x)= a+(b / x-1)+(c / x+1)

2. déterminer la dérivée de f étudier son signe et donner le tableau des variations de f,

3. tracer Cf

4. déterminer l’équation de la tangente C a Cf au point d'abscisse 0

   tracer c sur le dessin précèdent ,

5. montrer que la courbe Cf a pour centre de symétrie le point I de coordonnées (0;3)

je vous remercie d'avance pour votre aide

j'ai réussi faire la Q2 et la Q3.

[pzorba75]

pour Q1 :

f(x)= a+(b / x-1)+(c / x+1)=[a(x^2-1)+b(x+1)+c(x-1)]/[x^2-1]=[ax^2-a+bx+b+cx-c][(x^2-1)=(3x²+4x-3)/(x^2-1)

=> a=3

b+c=4

-a+b-c=-3 b-c=0 => b=2 et c=2

f(x)=3+2/(x+1)+2(x-1)

Q4 Voir le cours: Une équation de la tangente au point d'abscisse a est y=f'(a)(x-a)+f(a)

soit f'(0)=-2-2=-4 (je te laisse chercher f'(x))

f(0)=3+2-2=3

d'où la tangente y=-4x+3

Q5 Tu calcules f(0+a)=(3a^2+4a-3)/(a^2-1) et f(0-a)=(3a^2-4a-3)/(a^2-1) soit f(a)+f(-a)=(6a^2-6)/(a^2-1)=6

donc (f(a)+f(-a))/2=3, indépendant de a donc (0,3) est centre de symétrie de C.

[med.]

bonsoir merci de m'avoir rependu aussi rapidement.

mais pour la Q5 je n'est pas compris votre raisonnement.

[pzorba75]

En calculant l'image de a et celle de -a et en faisant la demi-somme [f(a)+f(-a)]/2 tu obtiens l'ordonnée du milieu du segment ((a;(fa));(-a;f(-a))), ce point a des coordonnées indépendantes de a, il est donc fixe quelque soit a, donc c'est le centre de symétrie

soit (0;3), centre de symétrie de l courbe représentative de f.

A revoir dans le cours ou dans le livre où c'est certainement démontré.

[med.]

merci pour votre aide, même si je ne comprends pas la Q5

[pzorba75]

Tu peux te reporter à ton livre, à partir de la table des matières ou de l'index avec Centre de symétrie.

Tu devrais obtenir la méthode utilisée pour trouver les coordonnées d'un centre de symétrie, quand il existe.