devoir maison suites numériques

[élèvede1ES]

Bonjour, je souhaiterai bénéficier de votre aide pour mon devoir maison de mathématiques sur les suites, il ya certaines questions auxquelles j'ai trouvé une réponse( dont j'aimerai avoir la confirmation ou l'infirmation si possible ) et d'autres pour lesquelles je suis un peu perdue et où une explication serai la bienvenue. Merci par avance pour votre aide et pour le temps que vous y consacrerez.

Exercice 1

Soit la suite (u_n) définie sur N par u_n+1= u_n/(1+2u_n) , u₀ étant fixé au départ.

Première partie

1) Pour un entier n fixé, quelle relation y a t-il entre u_n et u_n-1 ? u_n= u_n-1/ (1+2u_n-1)

2) Si pourn fixé u_n=0 que peut on dire de la suite (u_n) ? Si u_n=0 alors lenumérateur est toujours égal à zéero ainsi pour tout n u_(n+1)=0 donc la suite est constante à 0.

3) Si pour n fixé, uⁿ est strictement supérieur à 0, montrer alors que u_n+1 est strictement inférieur à u_n. Je n'ai pas trouvé de résultat qui prouve cet inégalité.

4) si pour n fixé u_n est strictement supérieur à 0 monter alors que u_n+1est stricrement supérieur à 0. Même problème que pour la précédente.

Deuxième partie

On suppose que u₀ =1 et u_n est différent de 0 pour tout n. On construit alors la suite (v_n) telle que v_n= 1/u_n

1) montrer que la suite (v_n) est une suite arithmétique dont on précisera le premier terme et la raison. v_n=1*u_n . R=1 et de terme initial 1.

2) Exprimer v_n en fonction de n. Je ne sais pas comment faire pour trouver cela.

3) En déduire une expression de u_n en fonction de n. Même soucis que pour la précdente.

Exercice 2

a) Un capital de 20000€ est placé à 7% annuels d'interêts composés. Que devient ce capital, à l'euro prêt, au bout de 1 an ? 2 ans ? 10 ans ?

u_n=u₀*qⁿ

u₁=20000*1.07¹=21400

u₂=20000*1.07²=22898

u₁₀=20000*1.07=39343

b) Un capital inconnu C0 est placé à 7% annuels d'intêrets composés. Au bout de 2 ans, ce capital est devenu C₂ et C₂ s'élève à environs 11450€ Déterminer C₀. 11450=u₀*1.07²

u₀= 11450/1.1449=10000

Exercice 3

Deux personnes, Mr Martin et M. Dupont, sont embauchées dans l'entreprise Macousette le même jour et pour un contrat de 2 ans minimum.

M. Martin choisit les conditions de salaire suivantes : premier salaire mensuel: 1200€ puis 28€ d'augmentation chaque mois.

M.Dupont choisit les conditions de salaire suivantes: premier salaire mensuel : 1200€ puis 2% d'augmentation chaque mois.

1) a) Sans justifier quel ty pe de suite (u_n) peut-on définir à l'aide des conditions de salaire de M.Martin ? Suite arithmétique de raison 28 et de terme initial 1200

b) Si u₀ est le terme correspondant au premier salaire comment notera t-on le terme correspondantau dernier salaire et sa valeur? On le notera u₂₃.

u_n=u₀+n*r

u₂₃=1200+23*28=1844

2) Répondre auxquestions a) et b) en ce qui concerne M. Dupont

a) suite géométrique de raison 1.02 et de terme initial 1200

b) v₂₃. v_n=v₀*qⁿ

v₂₃=1200*1.02²³=1892

3) A partie de combien de mois le salaire mensuel de M. Dupont dépasse celui de M. Martin? Au 18ème mois.

4) Pensez vous que sur les deux ans l'ensemble des gains de M. Dupont dépasse l'ensemble des gains de M. Martin ? Non car durant 17 mois M. Martin a un salaire plus important ce qui laisse seulement 6 moi ou M. Dupont à d'avantage. Sachantque l'écart à u₂₃ est seulement de 48€ on peut supposer que les gains de M. Dupont sur les deux ans ne sont pas plus importants que ceux de M.Martin (je ne suis pas sure du tout)

[pzorba75]

) Pour un entier n fixé, quelle relation y a t-il entre u_n et u_n-1 ? u_n= u_n-1/ (1+2u_n-1)

2) Si pour n fixé u_n=0 que peut on dire de la suite (u_n) ? Si u_n=0 alors le numérateur est toujours égal à zéro ainsi pour tout n u_(n+1)=0 donc la suite est constante à 0.

3) Si pour n fixé, u_n est strictement supérieur à 0, montrer alors que u_n+1 est strictement inférieur à u_n. Je n'ai pas trouvé de résultat qui prouve cet inégalité.

u_n-u_n+1=u_n-u_n/(1+2u_n)=(1+2u_n^2-u_n)/(1+u_n)=(2u_n^2-u_n+1)/(1+2u_n)

u_n-u_{n+1 est du même signe sue} 2u_n^2-u_n+1 or 2u_n^2-u_n+1 n'a pas de racine et est toujours positive donc

u_n-u_n+1>0 u_n>u_n+1 u_n+1<u_n CQFD

4) si pour n fixé u_n est strictement supérieur à 0 monter alors que u_n+1est strictement supérieur à 0. Même problème que pour la précédente.

u_n+1/u_n=1/(1+2u_n) 1+2u_n>0 donc u_n+1/u_n>0 donc u_n+1 du même signe que u_n donc u_n+1>0

A vérifier en rédigeant avec les justifications d'usage.

Au travail.

Deuxième partie

On suppose que u₀ =1 et u_n est différent de 0 pour tout n. On construit alors la suite (v_n) telle que v_n= 1/u_n

1) montrer que la suite (v_n) est une suite arithmétique dont on précisera le premier terme et la raison. v_n=1*u_n . R=1 et de terme initial 1.

v_n+1-v_n=1/u_n+1-1/u_n=(1+2u_n)/u_n-1/u_n=(1+2u_n-1)/u_n=2u_n/u_n=2 donc (v_n) est une suite arithmétique de raison 2 v₀=1 et v_n=1+2n

2) Exprimer v_n en fonction de n. Je ne sais pas comment faire pour trouver cela.

3) En déduire une expression de u_n en fonction de n. Même soucis que pour la précédente.

u_n=1/v_n=1/(1+2n)

A vérifier en rédigeant.

[élèvede1ES]

Merci beaucoup pour votre aide